最小费用最大流问题

最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有"容量"和"费用"两个限制条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以达到所用的费用最小的要求。

最小费用最大流建立在最大流和网络流问题的基础之上。

最大流

在优化理论中,最大流问题涉及到在一个单源点、单汇点的网络流中找到一条最大的流。

每个边缘都标有容量，即可以携带的最大物品数量。最大流问题是找出可以从顶点source到顶点sink总的物品数量（最大的那个）。

2019_10_11_2

如上图所示，当0->1和2->1汇聚的时候不能超出1->3的值12（1的输出最大为12）。最后可以到达5的最大物品个数就是19+4=23。也就是每条边和每个顶点要满足：

每条边上的流量不超过每条边的给定容量。
除source和sink之外，每个顶点的流入流等于流出流。

相关概念：可行流与增广链

有向连通图 $G=(V,E);$ V是顶点集，E是边集。
边的容量： $c_{ij};$ (每条边的权值)
发点： $v_{s};$ 收点： $v_{t};$ 其他的点叫中间点。（或者说源点和汇点）
边 $(v_i,v_j)$ 有流量 $f_{ij}$ ,集合 $f={f_{ij}}$ 为G的一个流。（边上已经实际有流量了）
重点： $f$ 为可行流满足：第一点：容量限制条件：对于任意一条边来说，实际的流量一点更要小于容量，即 $0<=f_{ij}<=f_{ij}$ ;

第二点：流量平衡条件：对于所有的中间节点 $v_i$ 来说，流入它的流量和从它流出的流量是相等的。即 $\sum{f_{ki}}=\sum{f_{ij}}$
对于收点 $v_i$ 和发点 $v_s$ ,有 $\mathop{\sum} \limits_{i}f_{si}=\mathop{\sum} \limits_{j}f_{jt}=W$ ,W为总流量（源头流出的等于终点流入的，在中间节点流量没有损失）
$\mu$ 为G上从 $v_s$ 到 $v_t$ 的链，规定 $v_s$ 到 $v_t$ 为链 $\mu$ 的方向，链上与 $\mu$ 方向一致的边叫前向边，与 $\mu$ 方向相反的边成为后向边。

例：

$\mu:v_1->v_2->v_3->v_4->v_6$

前向边： $(v_1,v_2),(v_3,v_4),(v_4,v_6)$

后向边： $(v_2,v_3)$
若链 $\mu$ 中的前向边 $(v_i,v_j)$ 必有 $f_{ij}<c_{ij}$ ,后向边上必有 $f_{ij}>0$ ,称 $\mu$ 是关于可行流 ${f_{ij}}$ 的一条增广链。(前向边：流量<容量，后向边非零流)

构造一个可行流

括号前面的哪个是容量，后面哪个是实际流量。

以 $v_3$ 为例，流进3，流出总量也是3；发点流出4，收点流进4，所以当前网络图总流量W=4。当前的流 $f$ 是可行流。

再检查一下： $\mu:v_1->v_2->v_3->v_4->v_6$

前向边： $(v_1,v_2),(v_3,v_4),(v_4,v_6)$ 流量小于容量

后向边： $(v_2,v_3)$ 后向边流量>0

此时链 $\mu$ 是一条可增广链，也叫增广链，代表在这条链上，我们是可以增加流量的。

对增广链可做如下调整：

$\delta_{ij}=\begin{cases} c_{ij}-f_{ij}，(v_i,v_j)为前向边；\\ f_{ij}， (v_i,v_j)为后向边\end{cases}$

取 $\delta=min\{\delta_{ij}\}$

把流改成 $f_1:f_1=\begin{cases}f_{ij}+\delta,(v_i,v_j)为\mu上前向边\\f_{ij}-\delta,(v_i,v_j)为\mu上后向边 \end{cases}$

前向边增加流量，后向边减少流量

由题意， $\mu$ 上只能调整一个流量，此时对增广链 $\mu$ 做调整，调整后的可行流如图所示：

那么新的可行流是不是最大流呢？

最小割集

我们使用最小割集检验：

容量网络 $G=(V,E,C)$ ,顶点集V满足 $S\bigcup T=V,S \bigcap T=\empty$ ,且 $v_s\in S,v_t \in T$ , 令： $(S,T)=\{(v_i,v_j)\in E |v_i \in S,v_j\in T\}$

称 $(S,T)$ 为分离 $v_s和v_t$ 的一个割集。

把V分成两半，一个是S一个是T，发点在集合S里，收点在集合T中。

例： $V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ ;

$S=\{v_1,v_2,v_3\}$ 和 $T=\{v_4,v_5,v_6\}$

$(S,T)=\{(v_2,v_4),(v_3,v_4),(v_3,v_5)\}$

所有边的起点都在集合S中，所有边得终点都在集合T中，这个（S,T）就是一个割集。

要想从起点走到终点的话，割集里的三条边是必经之路。

割集并不唯一。

割集（S,T）中所有边的容量之和成为该割集的最小容量；

在G的所有割集中，割集容量最小者称为G的最小割。（也就是网络图中能通过的最小的瓶颈部分，也就是漏桶中的那块最短板，要想让整个网络图的流量增加的话，一定要解决瓶颈部位的流量问题）

最大流，最小割定理

定义：在任意一个网络G中，从发点 $v_s到收点v_t$ 的最大流流量等于最小割的容量。

求最大流的标号算法：

设已有一个可行流 $f$ ,标号法分为两步：

标号过程（通过标号寻找增广链）
调整过程（沿增广链调整 $f$ 增加流量）

整个过程：

1.找可行流 2.找增广链（如果能找到增广链，执行第三步。如果找不到增广链，当前已经是最优解）3.调整

解最大流问题的Ford-Fulkerson解法

www.cnblogs.com/DarrenChan/…

本文主要讲解最大流问题的Ford-Fulkerson解法。可以说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。

在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。

开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。

在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。

残留网络

顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C代表边容量），从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义如下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。

我们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。可以这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。

$f_1:f_1=\begin{cases}f_{ij}+\delta,(v_i,v_j)为\mu上前向边\\f_{ij}-\delta,(v_i,v_j)为\mu上后向边 \end{cases}$

所以后向边可以把流量压回去给前向边

我们来具体看一个例子，如下图所示一个流网络

其对应的残留网络为：

增广路径

在了解了残留网络后，我们来介绍增广路径。已知一个流网络G和流f，增广路径p是其残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，向这条路径压入流量，可以增加整个网络的流值。上面的残留网络中，存在这样一条增广路径：

其可以压入4个单位的流量，压入后，我们得到一个新的流网络，其流量比原来的流网络要多4。这时我们继续在新的流网络上用同样的方法寻找增广路径，直到找不到为止。这时我们就得到了一个最大的网络流。

流网络的割

上面仅仅是介绍了方法，可是怎么证明当无法再寻找到增广路径时，就证明当前网络是最大流网络呢？这就需要用到最大流最小割定理。

首先介绍下，割的概念。流网络G（V，E）的割（S，T）将V划分为S和T=V-S两部分，使得s属于S，t属于T。割（S，T）的容量是指从集合S到集合T的所有边（有方向）的容量之和（不算反方向的，必须是S-àT）。如果f是一个流，则穿过割（S，T）的净流量被定义为f（S，T）（包括反向的，SàT的为正值，T—>S的负值）。将上面举的例子继续拿来，随便画一个割，如下图所示：

割的容量就是c(u,w)+c(v,x)=26

当前流网络的穿过割的净流量为f(u,w)+f(v,x)-f(w,v)=12+11-4=19

显然，我们有对任意一个割，穿过该割的净流量上界就是该割的容量，即不可能超过割的容量。所以网络的最大流必然无法超过网络的最小割。

首先，我们必须了解一个特性，根据上一篇文章中讲到的最大流问题的线性规划表示时，提到，流网络的流量守恒的原则，根据这个原则我们可以知道，对网络的任意割，其净流量的都是相等的。具体证明是不难的，可以通过下图形象的理解下，

现在来证明当残留网络Gf中不包含增广路径时，f是G的最大流。

假设Gf中不包含增广路径，即Gf不包含从s到v的路径，定义S={v:Gf中从s到v存在一条通路}，也就是G**f中s能够有通路到达的点的集合，显然这个集合不包括t，因为s到t没有通路。这时，我们令T=V-S。那么（S，T）就是一个割。**如下图所示：

么，对于顶点u属于S，v属于T，有f（u，v）=c（u，v）。否则（u，v）就存在残余流量，因而s到u加上u到v就构成了一条s到v的通路，所以v就必须属于S，矛盾。因此这时就表明当前流f是等于当前的割的容量的，因此f就是最大流。

Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法的正确性依赖于这个定理：当残存网络中不存在一条从s到t的增广路径，那么该图已经达到最大流。这个定理的证明及一些与其等同的定理可以参考《算法导论》。

Ford-Fulkerson方法的伪代码如下。其中<u,v>代表顶点u到顶点v的一条边，<u,v>.f表示该边的流量，c是边容量矩阵，c(i,j)表示边<i,j>的容量，当边<i,j>不存在时，c(i,j)=0。e为残存网络矩阵，e(i,j)表示边<i,j>的值，当边<i,j>不存在时，e(i,j)=0。E表示边的集合。f表示流网络。

Ford-Fulkerson伪代码

for <u,v> ∈ E
 
    <u,v>.f = 0//初始化流量为0
 
while find a route from s to t in e
 
    m = min(<u,v>.f, <u,v>  ∈ route)
 
    for <u,v> ∈ route
 
        if <u,v>  ∈ f
 
            <u,v>.f = <u,v>.f + m
 
        else
 
            <v,u>.f = <v,u>.f - m

Ford-Fulkerson方法首先对图中的所有边的流量初始化为零值，然后开始进入循环：如果在残存网络中可以找到一条从s到t的增广路径，那么要找到这条这条路径上值最小的边，然后根据该值来更新流网络。

Ford-Fulkerson有很多种实现，主要不同点在于如何寻找增广路径。最开始提出该方法的Ford和Fulkerson同学在其论文中都是使用广度优先搜索实现的，其时间复杂度为O(VE)，整个算法的时间复杂度为O(VE^2)。

find an augmenting path
compute the bottleneck capacity
augment each edge and total flow
我们需要输入点数和边数构造网络。
边包括起点、终点、流量和最大容量
我们需要构造残留网络，增广路径
残留网络的边包括起点终点和流量

算法篇——最大流问题（概念理解）