算法篇——快速幂问题基本数据类型的特点，最大值和最小值。 int和long只能写10个数字，short只能写5个数字，多

内容五快速幂问题

题目描述：

输入正整数𝑥, 𝑝 (𝑥 ≤ 10^9 , 𝑝 ≤ 10^18)

要求输出 $x^p mod(10^9+7)$

样例输入 3 5

样例输出 243

拓展1

基本数据类型的特点，最大值和最小值。 1、
基本类型：int 二进制位数：32
包装类：java.lang.Integer
最小值：Integer.MIN_VALUE= -2147483648 （-2的31次方）
最大值：Integer.MAX_VALUE= 2147483647 （2的31次方-1）
2、
基本类型：short 二进制位数：16
包装类：java.lang.Short
最小值：Short.MIN_VALUE=-32768 （-2的15此方）
最大值：Short.MAX_VALUE=32767 （2的15次方-1）
3、
基本类型：long 二进制位数：64
包装类：java.lang.Long
最小值：Long.MIN_VALUE=-9223372036854775808 （-2的63次方）
最大值：Long.MAX_VALUE=9223372036854775807 （2的63次方-1）

4、

基本类型：float 二进制位数：32
包装类：java.lang.Float
最小值：Float.MIN_VALUE=1.4E-45 （2的-149次方）
最大值：Float.MAX_VALUE=3.4028235E38 （2的128次方-1）
5、
基本类型：double 二进制位数：64
包装类：java.lang.Double
最小值：Double.MIN_VALUE=4.9E-324 （2的-1074次方）
最大值：Double.MAX_VALUE=1.7976931348623157E308 （2的1024次方-1）

int和long只能写10个数字，short只能写5个数字，多了就会报错。

float的小数点后6位，double的小数点后16位。

拓展2

参考：www.geeksforgeeks.org/modulo-1097…

为什么需要取模：

采用Mod的原因是为了防止整数溢出。C / C ++中最大的整数数据类型是64位无符号long long int，可以处理从0到（2 ^ 64 – 1）的整数。但是在某些问题中，产出增长率非常高，这种高范围的无符号长久可能不足。假设在64位变量'A'中存储2 ^ 62，在另一个64位变量'B'中存储2 ^ 63。当我们将A和B相乘时，系统不会给出运行时错误或异常。它只是进行一些伪计算并存储伪结果，因为结果的位大小是在乘法溢出后得出的。
在某些问题中，需要计算模逆的结果，并且该数字很有用，因为它是质数。同样，这个数字应该足够大，否则在某些情况下模块化逆向技术可能会失败。

由于这些原因，问题解决者需要通过对一些数N取模来给出答案。 N的值取决于某些标准：

它应该足够大以适合最大的整数数据类型，即确保没有结果溢出。
它应该是质数，因为如果我们将一个数的mod乘以质数，则结果通常是隔开的，即与非质数的mod数相比，结果是非常不同的结果，这就是质数通常用于mod的原因。

10 ^ 9 + 7满足这两个条件。它是第一个10位数的质数，也适合int数据类型。实际上，任何小于2 ^ 30的质数都可以，以防止可能的溢出。

模数的使用方式：模数 的一些分布特性如下：

（a + b）％c =（（a％c）+（b％c））％c
（a * b）％c =（（a％c）*（b％c））％c
（a – b）％c =（（a％c）–（b％c））％c
（a / b）％c =（（a％c）/（b％c））％c

因此，模是分布在+，*和–上，而不是分布在/上。[有关详细信息，请参阅模数除法] 注意：（a％b）的结果将始终小于b。在计算机程序的情况下，由于变量限制的大小，我们**在每个中间阶段执行模M，**这样就不会发生范围溢出。

例：
一个= 145785635595363569532135132
b = 3151635135413512165131321321
c = 999874455222222200651351351
m = 1000000007
打印（a * b * c）％m。

方法1：
首先，将所有数字相乘，然后取模：
（a * b * c）％m =（459405448184212290290339339835148809
515332440033400818566717735644307024625348601572）％ 
1000000007
a * b * c即使在unsigned long long中也不适合 
int由于哪个系统掉了大部分 
有效数字。因此，它给出了错误的答案。
（a * b * c）％m = 798848767

方法2：
在每个中间步骤取模：
我= 1
i =（i * a）％m // i = 508086243
i =（i * b）％m // i = 144702857
i =（i * c）％m // i = 798848767
我= 798848767 

方法2总是给出正确的答案。

拓展3

从效率上看，使用移位指令有更高的效率，因为移位指令占2个机器周期，而乘除法指令占4个机器周期。从硬件上看，移位对硬件更容易实现，所以会用移位，移一位就乘2,这种乘法当然考虑移位了。

位移运算：www.jianshu.com/p/927009730…

拓展4

快速幂问题：oi-wiki.org/math/quick-…

思路：计算 $x^p$ 与mod同时操作

import java.util.Scanner;

/**
 * @author SJ
 * @date 2020/10/15
 */
public class CalculateMod {
    public static final int MODULE = 1000000007;

    //x^p  x是int，p的范围是long
    public static long calculate(long x, long p) {
        x = Math.floorMod(x, MODULE);
        long res = 1L;
        for (; p != 0; p >>= 1) {
            //判断改二进制位上的数组是否为1 ，如过为1就乘上系数
            if ((p & 1) != 0)
                res = Math.floorMod(res * x, MODULE);
            //不为1就自乘
            x = x * x;
            x = Math.floorMod(x, MODULE);
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        long x = scanner.nextLong();
        long p = scanner.nextLong();
        long calculate = calculate(x, p);
        System.out.println(calculate);

    }
}

结果：

"C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_131\bin\java.exe"...
 3 5
243

Process finished with exit code 0

算法复杂度,我们只需要计算 $O(logn)$ 次乘法，空间 $O(1)$

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