剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列 | 刷题打卡1. 题目剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列 2.

题目

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列
难度：简单

描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

示例 2：

输入：n = 5

输出：5

提示：

0 <= n <= 100

方法 1

思路

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1

利用递归的方法，把 $f(n)$ 问题的计算拆分成 $f(n−1)$ 和 $f(n−2)$ 两个子问题的计算，并递归，以 $f(0)$ 和 $f(1)$ 为终止条件，虽然能求出结果，但是最终会超时；

实现

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        
        return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
    }
}

方法 2

思路

3.2.1 思路

减少暴力递归中的重复运算，可以将子问题的答案存放到备忘录，进行下次运算时先从备忘录中查询，如果已经有对应答案，直接取出用就行，这样就可以大大减少运算的时间。

通过添加备忘录，将原来的递归树进行了剪枝，大大减少了子问题，此时的子问题个数变成了 $n$ ，此时的时间复杂度变成了 $O(n)$ ；

实现

class Solution {
    // 用一个哈希表来当备忘录
    HashMap<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<>();

    public int fib(int n) {
        // Base Case
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }

        // 如果计算过了，就直接返回对应答案
        if (hashMap.containsKey(n)) {
            return hashMap.get(n);
        } else {
            // 没计算过的进行计算，同时存入备忘录
            int val =( fib(n - 2) + fib(n - 1)) % 1000000007;
            hashMap.put(n, val);
            return val;
        }
    }
}

方法 3

思路

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1

利用上述条件，利用动态规划的思想；

状态定义：设 $dp$ 为一维数组，其中 $dp[i]$ 的值代表斐波那契数列第 $i$ 个数字。
转移方程： $dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1]$ ，即对应数列定义 $f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)$ ；
初始状态： $dp[0] = 0$ , $dp[1]=1$ ，即初始化前两个数字；
返回值： $dp[n]$ ，即斐波那契数列的第 $n$ 个数字
时间复杂度：此时主要进行循环操作，时间复杂度为 $O(n)$ ；

实现

public int fib(int n) {
    if(N == 0 || N == 1){
        return N;
    }

    int prev = 0;
    int curr = 1;
    for(int i = 2; i <= N; i++){
        int sum = (prev + curr) % 1000000007;
        prev = curr;
        curr = sum;
    }

    return curr;

}

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