一、题目描述：
leetcode70题：爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
二、思路分析：
解法1：动态规划
假设n = 3，需要爬3级到楼顶。由题意可知，可以爬1个或是2个台阶，总共3种走法，这刚好是n=2走法加上n=1走法：
n=2有2种：
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
n=1有1种： - 1 阶
通过归纳总结推导出动态规划的DP方程：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
下面我们来讨论边界条件。我们是从第 0 级开始爬的，所以从第 0 级爬到第 0 级我们可以看作只有一种方案，即 f(0) = 1；从第 0 级到第 1 级也只有一种方案，即爬一级，f(1) = 1。这两个作为边界条件就可以继续向后推导出第 n 级的正确结果。我们不妨写几项来验证一下，根据转移方程得到 f(2) = 2，f(3) = 3，f(4) = 5，……，我们把这些情况都枚举出来，发现计算的结果是正确的。
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n)，循环执行 n 次，因此时间复杂度为O(n)。
- 空间复杂度：O(1)，计算第n级的走法，只需记录n-1和n-2两个数的空间，空间复杂度是线性的，所以为O(1)。
解法2：公式
n较小时，使用上述动态规划效率很不错，但n变大时，就需要考虑减小时间复杂度，需要更好的解决方案。
n代入具体的数值进行如下推导：
输入 1: 输出 1
输入 2: 输出 2
输入 3: 输出 3
输入 4: 输出 5
输入 5: 输出 8
......
咦，目前相当满足斐波那契数列！！！
查一查它的通项公式：
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(logn)，这里需要考虑Math.pow方法的影响。
- 空间复杂度：O(1)，没有产生额外空间开销。
三、AC 代码：
动态规划的代码
var climbStairs = function(n) {
let dp = [];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(let i = 2;i <= n;i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
};
公式法的代码
// 公用常量
const sqrt5 = Math.sqrt(5);
var climbStairs = function(n) {
// 斐波那契数列
return (Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1))/sqrt5
};
四、总结：
爬楼梯是leetcode经典动态规划题目，上述2种解法，我们主要是需要学习掌握动态规划。我们用动态规划来解题时，关键是推导出DP方程和确定DP边界状态。公式法是扩展学习斐波那契数列，是进阶解法，能够将时间复杂度降为O(logn)。
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