LeetCode算法系列 110. 平衡二叉树110. 平衡二叉树给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。一个

白菜Java自习室涵盖核心知识

力扣原题

110. 平衡二叉树

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：

一个二叉树每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。

示例 1：

输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：true

示例 2：

输入：root = [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
输出：false

示例 3：

输入：root = []
输出：true

解题思路

平衡二叉树的定义：

叉树的每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过 1，则二叉树是平衡二叉树。

根据定义，一棵二叉树是平衡二叉树，当且仅当其所有子树也都是平衡二叉树，因此可以使用递归的方式判断二叉树是不是平衡二叉树，递归的顺序可以是自顶向下或者自底向上。

方法一：自顶向下的递归

思路与算法

定义函数 $\texttt{height}$ ，用于计算二叉树中的任意一个节点 $p$ 的高度：

$\texttt{height}(p) = \begin{cases} 0 & p \text{ 是空节点}\\ \max(\texttt{height}(p.left), \texttt{height}(p.right))+1 & p \text{ 是非空节点} \end{cases}$

有了计算节点高度的函数，即可判断二叉树是否平衡。具体做法类似于二叉树的前序遍历，即对于当前遍历到的节点，首先计算左右子树的高度，如果左右子树的高度差是否不超过 1，再分别递归地遍历左右子节点，并判断左子树和右子树是否平衡。这是一个自顶向下的递归的过程。

正向判断：每个节点单元，递归运算满足三点：

左右子树的高度差不超过 1： Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1
左子树是平衡二叉树：isBalanced(root.left)
右子树是平衡二叉树：isBalanced(root.right)

对于当前遍历到的节点，首先计算左右子树的高度，如果左右子树的高度差是否不超过 1，再分别递归地遍历左右子节点，并判断左子树和右子树是否平衡。

代码实现

class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        } else {
            return Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1
            && isBalanced(root.left) 
            && isBalanced(root.right);
        }
    }

    private int height(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            return Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;
        }
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 $n$ 是二叉树中的节点个数。最坏情况下，二叉树是满二叉树，需要遍历二叉树中的所有节点，时间复杂度是 $O(n)$ 。对于节点 $p$ ，如果它的高度是 $d$ ，则 $\texttt{height}(p)$ 最多会被调用 $d$ 次（即遍历到它的每一个祖先节点时）。对于平均的情况，一棵树的高度 $h$ 满足 $O(h)=O(\log n)$ ，因为 $d \leq h$ ，所以总时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。对于最坏的情况，二叉树形成链式结构，高度为 $O(n)$ ，此时总时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 是二叉树中的节点个数。空间复杂度主要取决于递归调用的层数，递归调用的层数不会超过 $n$ 。

方法二：自底向上的递归

思路与算法

方法一由于是自顶向下递归，因此对于同一个节点，函数 $\texttt{height}$ 会被重复调用，导致时间复杂度较高。如果使用自底向上的做法，则对于每个节点，函数 $\texttt{height}$ 只会被调用一次。

自底向上递归的做法类似于后序遍历，对于当前遍历到的节点，先递归地判断其左右子树是否平衡，再判断以当前节点为根的子树是否平衡。如果一棵子树是平衡的，则返回其高度（高度一定是非负整数），否则返回 $-1$ 。如果存在一棵子树不平衡，则整个二叉树一定不平衡。

反向判断：每个节点单元，递归运算不满足一点

左右子树的高度差超过 1：Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1
左子树不是平衡二叉树：leftHeight == -1
右子树不是平衡二叉树：rightHeight == -1

对于当前遍历到的节点，先递归地判断其左右子树是否平衡，再判断以当前节点为根的子树是否平衡。如果一棵子树是平衡的，则返回其高度（高度一定是非负整数），否则返回 -1。

代码实现

class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        return balanced(root) != -1;
    }

    private int balanced(TreeNode node) {
        if (node == null) return 0;
        int leftHeight, rightHeight;
        if ((leftHeight = balanced(node.left)) == -1
                || (rightHeight = balanced(node.right)) == -1
                || Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1)
            return -1;
        return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 是二叉树中的节点个数。使用自底向上的递归，每个节点的计算高度和判断是否平衡都只需要处理一次，最坏情况下需要遍历二叉树中的所有节点，因此时间复杂度是 $O(n)$ 。
空间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 是二叉树中的节点个数。空间复杂度主要取决于递归调用的层数，递归调用的层数不会超过 $n$ 。