题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路分析

我们知道最后面是让我们求总共有多少条不同的路径，也就是说是求最大值，那么我们首先要想到的就是万恶的动态规划。 动态规划里面总共有四个步骤：

1. 确定状态
2. 明确 dp 数组的含义
3. 写出状态转移方程
4. 明确边界条件

首先是确定状态，因为题目就是问总共有多少条路径，所以我们这里的状态就是路径的数量。

然后我们定义一个 dp 数组 dp[m][n]，这个数组的含义是，机器人在当前格子上的最大路径数。

机器人每次只能向下和向右走，所以每个格子的不同路径只能从两个方向来，那么状态转移方程就是左边格子的路径数+上边格子的路径数，最后得出状态转移方程 dp[m][n] = dp[m - 1][n] + dp[m][n - 1]

确定边界条件，最上面和最左边的格子，它的路径数一定是 1，因为机器人只能从右走，所以需要将 dp 数组中的这些格子都初始化为 1。

AC 代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    // 定义 dp 数组
    int[][] res = new int[m][n];
    
    // 初始化边界值
    for(int i = 0; i < m; i++){
        res[i][0] = 1;
    }

    for(int i = 0; i < n; i++){
        res[0][i] = 1;
    }

    // 使用状态转移方程得出结果
    for(int i = 1; i < m; i++){
        for(int j = 1; j < n; j++){
            res[i][j] = res[i - 1][j] + res[i][j - 1];
        }
    }
	
    // 返回结果
    return res[m-1][n-1];
}

执行步骤如下图所示：

总结

当遇到求最值问题的时候，就要往动态规划的方向思考，而动态规划则遵循四个步骤，根据四个步骤一般都可以得出答案，然而状态转移方程是最难想出来，所以还是需要多多练习动态规划的题目，提高对题目的敏感度。

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