S03E01:平面方程与法线

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说明

平面可以用一个点+一个法线向量的方式来表示,但也经常看到有时用平面方程的形式表示。所以,它们之间有没有什么联系?

几何

比如下图中,一个点 B,和向量 BA,可以表示一个平面。

当表示平面时,B 点的具体位置也是不重要的,它可以在垂直于 AB 的平面上自由移动。

方程

用代数方程来描述的话,假设点 A 坐标(xa, ya, za),点 B 坐标(xb, yb, zb)。(向量 AB 是个常数,假设其为(xab, yab, zab))

而平面上的点O(x, y, z)都满足 OB ∙ AB = 0,即向量点乘等于 0。将点乘方程展开,可得到:

(x - xb) * xab + (y - yb) * yab + (z - zb) * zab = 0
// 由于点 B 坐标`(xb, yb, zb)`是常数,向量 AB`(xab, yab, zab)` 也是常数,故可化简为
xab * x + yab * y + zab * z = 常数

我们仔细看看,也就是说平面的方程其实是:Ax + By + Cz = 常数,而(A, B, C) 其实就是平面法线,当然也可以说是法线的负方向。