Log 对数

在数学中，「对数」是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。

如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm 老哥瑞咋么），记作x = $\log_a N$ 。其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

标准的公式：x = $\log_a N$

如果 a = 3， x = 2，则 N = 9 ，即 $3^2$ = 9 同时 2 = $\log_3 9$

而为什么二分查找的时间复杂度是 O( $\log_2 N$ ) 呢？

首先我们要知道，时间复杂度的定义其实就是算法中循环的次数。并且代表着当前操作「最坏情况下」的次数。

在遍历查找中:

遍历只能一个一个去查，如果查找的数字是 9，在最坏的情况下，需要遍历所有数字才能找到。所以如果查找的数字是 9，那么他需要查找 9 次才可以找到，所以它的时间复杂度是 9。假设我们查找的数字数量是 N ，那么时间复杂度也是 N。

在二分查找中

二分查找则每次循环时，取数据量的一半，第一步找到了 [5, 6, 7, 8, 9]，第二步找到了 [7, 8, 9]，第三步找到了[8, 9]，第四步仅剩一个 9 ，就是我们要找的数字，在最坏的情况下仅仅需要 4 次循环就可以找到目标值。

所以最终剩下 1 个数字的时候，它就是我们要找的数字（如果不是，则是不存在）。

计算过程

初始剩下 N 个，

第一次 N / 2 个

第二次，第一次的一半 N / 2 / 2 个

第三次，第二次的一半 N / 2 / 2 / 2 个

依次类推，假设到 x 次的时候，终于只剩下一个值了，那么换成公式为 $N * (1 / 2)^X$ = 1

由于 $N * (1 / 2)^X$ = 1 ，所以 N = 1 / $(1/2)^X$ = $2^X$ 。

根据对数公式， x 是以 2 为底， N 的对数，得出 x = $\log_2 N$ ，由于 2 在 log 函数的写法中可以被忽略，所以公式也等于 $\log N$ 。不过，不管底数是 2 还是 3 等，由于底数相对于要计算的数据量来说是相对不变的，所以在时间复杂度的计算中，直接忽略不计。

至此，二分查找的时间复杂度 $\log N$ 的由来就讲完了。

二分查找是一个非常典型的时间复杂度为 $\log N$ 的算法。再让我们复习一下数学公式：

x = $\log_2 N$ 的含义是，x 是以 2 为底 N 的对数，同时 N = $2^X$ 。

代入具体数字： 3 = $\log_2 8$ ， 8 = $2^3$

你学废了吗？