说明
线段与线段最近点坐标，当然也可以仿照射线那样，分情况讨论处理，只不过线段的情况比射线复杂了一倍而已。从理论上讲写出来也不算太难，但是这里，我们可以试试其它方法，比如万能的矩阵：构造一个局部坐标系，将两根线段转换到一个平面上进行处理，求出最近点。
几何
如下图，线段 AB 和 CD 在空间内的位置。我们要利用它们构建一个坐标系，以点 A 为原点，AB 为 x 轴。
构造局部坐标系
那么接下来，用叉乘来构造 z 轴，即同时垂直于 AB 和 CD 的轴。再用 x 轴和 z 轴叉乘来得到 y 轴，这样一来就可以将两根线段的位置关系，从三维空间降级到 xy 平面上进行处理了。如下图，向量 AF 就是我们构造出来的 z 轴，它同时垂直于 AB 和 CD。
不过这里有个小问题：如果 AB 和 CD 是平行的，那叉乘就没有意义了。这里应该怎么办？这时，我们可以任选一个向量来当临时向量，比如选以前的原始 x 轴，即
(1, 0, 0)方向，利用叉乘得到垂直于 AB 和(1, 0, 0)的向量，把它当做局部坐标系的 z 轴，就可以继续后面的处理。
不过这里又有一个问题：如果 AB 平行于 CD，并且平行于原始的 x 轴，又该怎么办？这样其实更简单，我们直接选取原始的 z 轴(0, 0, 1)作为局部坐标系的 z 轴就可以了。这里显然，z 轴是垂直于 x 轴的，也垂直于 AB 和 CD。
总之，不管什么情况，我们的目标是构造出同时垂直于 AB 和 CD 的局部 z 轴，这样就可以暂时丢掉 z 坐标，专心在 xy 平面处理两个线段的位置关系，这样将三维问题化简为二维平面问题。而且其中线段 AB 还在局部坐标系的 x 轴上，A 点是局部坐标系的原点，这样大大降低了处理的难度。
如下图，我们最后得到的局部坐标系如下：以点 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AG 为 y 轴，以 AF 为 z 轴。
然后，我们可以将点 B、C、D 的坐标转换到这个局部坐标系中，并暂时丢弃 z 轴坐标。得到一个平面的线段关系图。
平面关系处理
那么接下来，我们在二维平面上，对线段 AB 和 CD 的关系进行讨论并处理。
首先，我们要考虑，AB 和 CD 平行的问题，当平行时，判断 x 轴坐标是否有重合部分，如果有，就有无穷多个最近点；如果没有重合部分，那端点就是最近点。
不平行时，我们先考虑，CD 延长线与 AB （即 x 轴）相交的情况，按与 AB 所在直线相交的位置不同，可以分为三种情况：
- 交点在点 A 左侧
- 交点在点 B 右侧
- 交点在 AB 中间
而上述三种情况下，交点在左右两侧时，又可以根据 CD 的位置分为三种情况（我们以左侧为例，右侧同理）：
- 线段 CD 有部分落在左侧，则最近点是点 A，及 A 到 CD 的最近点；
- 线段 CD 全都在点 A 右侧，其中一点离点 C 近，则最近点是点 C，及点 C 到线段 AB 的最近点；
- 线段 CD 全都在点 A 右侧，其中一点离点 D 近，则最近点是点 D，及点 D 到线段 AB 的最近点；
那么当交点在线段 AB 中间时，则 CD 的情况也是分三种处理：
- 交点在 CD 中间，则最近点可按两条直线最近点处理，但在平面上，交点坐标可以直接求出来；
- 交点在 CD 延长线，点 C 一侧，故最近点分别是点 C，点 C 到线段 AB 的最近点；
- 交点在 CD 延长线，点 D 一侧，故最近点分别是点 D，点 D 到线段 AB 的最近点；
情况总结
所以总共有 3x3 种情况，而交点 F 的计算也并不复杂，因为 F 可以用点 C 和点 D 来表示，而 F 的 y 坐标等于 0。由此不仅能计算出 F 点坐标，还能知道 F 点在 CD 的位置情况：在 CD 中间，在 C 的外侧，在 D 的外侧。
最后，如果是在局部坐标系得到的交点，还需要再转换到世界坐标系中。
代码
///线段与线段最近点坐标
static func nearestPoints(segment1:Segment, segment2:Segment) -> (simd_float3, simd_float3)? {
//构造局部坐标系，segment1 为 x 轴，point1 为坐标原点；z 轴垂直于线段构成的平面；
let direction1 = segment1.point2 - segment1.point1
let direction2 = segment2.point2 - segment2.point1
let p = direction1.almostParallelRelative(to: direction2)
var zValue = p.crossValue
if p.isParallel {
// 平行时，构造特殊的矩阵
let xDirection = simd_float3(1, 0, 0)
let px = direction1.almostParallelRelative(to: xDirection)
if px.isParallel {
zValue = simd_float3(0, 0, 1)
} else {
zValue = cross(xDirection,direction1)
}
}
let xAxis = normalize(direction1)
let zAxis = normalize(zValue)
let yAxis = normalize(cross(zAxis, xAxis))
let localMatrix = matrix_float4x4(
simd_float4(xAxis, 0),
simd_float4(yAxis, 0),
simd_float4(zAxis, 0),
simd_float4(segment1.point1, 1)
)
//计算线段各个点，在局部坐标系中的位置
// let s1p1 = localMatrix.inverse * simd_float4(segment1.point1, 1)
let s1p2 = localMatrix.inverse * simd_float4(segment1.point2, 1)
let s2p1 = localMatrix.inverse * simd_float4(segment2.point1, 1)
let s2p2 = localMatrix.inverse * simd_float4(segment2.point2, 1)
if p.isParallel {
// 平行时，可能有重合部分，无数个最近点；也可能无重合部分，端点最近
if s2p1.x < 0 && s2p2.x < 0 {
let p2 = s2p1.x > s2p2.x ? segment2.point1 : segment2.point2
return (segment1.point1, p2)
} else if s2p1.x > s1p2.x && s2p2.x > s1p2.x {
let p2 = s2p1.x < s2p2.x ? segment2.point1 : segment2.point2
return (segment1.point2, p2)
}
return nil
}
let factor = s2p2.y / (s2p2.y - s2p1.y)//前面已判断，不可能平行，故除数不为0
// segment2 或延长线必定与 x 轴相交，交点为 crossP2
let crossP2 = factor * s2p1 + (1-factor) * s2p2
if crossP2.x < 0 {
// 相交在 segment1 范围外，左侧
if s2p1.x < 0 || s2p2.x < 0 {
// segment2 有部分在 segment1 左侧
let p2 = nearestPointOnSegment(from: segment1.point1, to: segment2)
return (segment1.point1, p2)
} else if factor > 1 {
// s2p1 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point1, to: segment1)
return (p1, segment2.point1)
} else {
// s2p2 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point2, to: segment1)
return (p1, segment2.point2)
}
} else if crossP2.x > s1p2.x {
// 相交在 segment1 范围外，右侧
if s2p1.x > s1p2.x || s2p2.x > s1p2.x {
// segment2 有部分在 segment1 右侧
let p2 = nearestPointOnSegment(from: segment1.point2, to: segment2)
return (segment1.point2, p2)
} else if factor > 1 {
// s2p1 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point1, to: segment1)
return (p1, segment2.point1)
} else {
// s2p2 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point2, to: segment1)
return (p1, segment2.point2)
}
} else {
// 相交在 segment1 范围内
if factor > 1 {
// s2p1 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point1, to: segment1)
return (p1, segment2.point1)
} else if factor < 0 {
// s2p2 离交点近
let p1 = nearestPointOnSegment(from: segment2.point2, to: segment1)
return (p1, segment2.point2)
}
let crossP1x = crossP2.x
let p2 = localMatrix * crossP2
let p1 = localMatrix * simd_float4(crossP1x, 0, 0, 1)
return (simd_float3(p1.x, p1.y, p1.z), simd_float3(p2.x, p2.y, p2.z))
}
}
