超平面在数学中，**超平面（Hyperplane）**是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中

什么是超平面

在数学中，**超平面（Hyperplane）**是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广.

$n$ 维超平面的方程定义为：

$a_1x_1+...+a_nx_n=b$ ，其中 $a_1,...,a_n$ 是不全为0的常熟

即 $w^Tx+b=0，$

其中， $w$ 与 $x$ 都是 $d$ 维列向量， $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ 为超平面上的点， $w=(w_1,w_2,...,w_n)$ 为平面上的法向量, $b$ 是一个实数, 代表平面与原点之间的距离.

我们最常见的平面概念是在三维空间中定义的: $Ax+By+cZ+D=0$

超平面有两个性质：

$d$ 维空间中的超平面其实就是维度比所在空间低一维的平面，即 $d-1$ 维。例如3维空间的超平面是二维平面，二维空间的超平面是一条直线，一维空间的超平面是一个点.

假设点 $x′$ 为超平面 $A:w^Tx+b=0$ 上的任意一点, 则点 $x$ 到 $A$ 的距离为 $x−x′$ 在超平面法向量 $w$ 上的投影长度:

d=\frac{|w^T(x−x′)|}{||w||}=\frac{|wTx+b|}{||w||}

一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面.

还是要用到它的法向量 $w$ . 仍然假设点 $x′$ 为超平面 $A:wTx+b=0A:wTx+b=0$ 上的任意一点, 点 $x$ 为待判断的点. 若 $x−x′$ 与 $w$ 的夹角小于 $90^o$ , 则 $x$ 在 $A$ 的正面, 否则在反面

w^T(x−x′)>0 →w^Tx+b>0

所以判定依据为:

x在A的=\begin{cases} 正面,\quad\quad w^Tx+b>0\\ 平面上,\quad w^Tx+b=0\\ 反面,\quad\quad wTx+b<0x\\ \end{cases}

若将距离公式中分子的绝对值去掉, 让它可以为正为负. 那么, 它的值正得越大, 代表点在平面的正向且与平面的距离越远. 反之, 它的值负得越大, 代表点在平面的反向且与平面的距离越远.

对于 $n$ 维空间上的向量 $x = (x_1,x_2,...,x_n)$ 投影到一个法向量为 $w$ 的超平面上的投影向量 $x'$ 为：

x'=x-w^Txw