今天开始学会二叉堆任意父节点的值都大于或等于子节点的值，这种堆称为大顶堆。任意父节点的值都小于或等于子节点的值，这种堆

Date:2021/02/17

小小的我，依然想要和世界碰撞

什么是堆

堆（Heap)，也称为二叉堆，是一棵具有如下性质的完全二叉树：

任意父节点的值都大于或等于子节点的值，这种堆称为大顶堆。
任意父节点的值都小于或等于子节点的值，这种堆称为小顶堆。

堆的这种性质决定了最大堆的堆顶元素（根节点）的值是整个堆中最大的，最小堆的堆顶元素的值是整个堆中最小的。利用这种性质，堆常用于堆排序、优先队列等。

堆的表示

虽然说堆是一颗完全二叉树，但是我们常用数组来表示堆，这却决于完全二次树的特性： $n(n\ge0)$ 各节点的完全二叉树从上到下，从左到右从 $0$ 开始编号，对于第 $i(0\le i<n)$ 各节点：

$i==0$ ，则为根节点
$i>0$ ，则父节点的编号为 $floor((i-1)/2)$
如果 $2i+1<n$ ，则左孩子的编号为 $2i+1$ ，否则无左孩子
如果 $2i+2<n$ ，则右孩子的编号为 $2i+2$ ，否则无右孩子

所以一棵完全二叉树可以映射为一个数组，数组长度为节点的个数，上面的编号也就是数组的下标,如下图所示。

编号的顺序和数组的存储其实就是层次遍历的结果。

Java可以直接使用ArrayList数组：

public class BinaryHeap<E extends Comparable<E>>{
	private ArrayList<E> elements;
    	// ...
}

堆的自调整

堆的添加、删除等操作可能会破坏堆的性质，为了维持堆的特性，有两种操作，分别是上浮和下沉。

以大顶堆为例。

上浮

上浮操作的本质就是对不满足堆特性的节点，向上寻找合适的节点与之替换。比如下图中的大顶堆的最后一个节点20比父节点大，不满足大顶堆的性质，所以要对该节点进行上浮操作。

首先将20与其父节点9进行比较，发现20比9大，所以将20和9进行交换，

继续将20和父节点10进行比较，发现20比10大，所以将20和10进行交换，

在和父节点21比较，此时20比21小，已经满足了堆的大顶堆的特性，所以节点20的上浮操作就完成了，得到了一个大顶堆。

实际上，在上浮的过程中，不需要每次都进行交换，可以先将上浮节点的值保存，然后需要交换时，直接将父节点的值覆盖子节点，等到上浮结束后，再用之前保存的上浮节点值覆盖交换的最后位置。

上浮操作的实现如下：

/**
 * 堆节点上浮操作
 *
 * @param index 上浮节点的索引
 */
protected void upAdjust(int index) {
    if (index < 0 || index >= elements.size()) {
        throw new IndexOutOfBoundsException("堆节点索引越界!");
    }
    int parent = parent(index);
    E temp = this.elements.get(index);
    while (parent >= 0 && this.elements.get(parent).compareTo(temp) < 0) {
        this.elements.set(index, this.elements.get(parent));
        index = parent;
        parent = parent(index);
    }
    this.elements.set(index, temp);
}

下沉

下沉操作和上浮操作类似，下沉是向下寻找合适的节点与之替换。下沉操作需要将父节点和左右孩子的较大值（小顶堆就是较小值）进行比较和替换，这一点与上浮不同。

比如下图中的根节点9不满足大顶堆的性质，需要下沉操作，

节点9的左右孩子中左孩子更大，将9和左孩子20比较，左孩子大，进行交换，

节点9的左右孩子中左孩子10更大，将9和左孩子10比较，左孩子大，进行交换，

节点9只有左孩子，但是左孩子此时比节点9小，满足大顶堆的性质，所以节点9的下沉操作完成。

和上浮一样，实际上不需要真正的交换。

下沉操作的实现如下：

/**
 * 堆节点下沉操作
 *
 * @param index 下沉节点的索引
 */
protected void downAdjust(int index) {
    if (index < 0 || index >= elements.size()) {
        throw new IndexOutOfBoundsException("堆节点索引越界!");
    }
    E temp = this.elements.get(index);
    int childIndex = leftChildren(index);
    while (childIndex < this.elements.size()) { 
    	// 进入循环说明有左孩子
        if (childIndex + 1 < this.elements.size() && this.elements.get(childIndex).compareTo(this.elements.get(childIndex + 1)) < 0) {
            //进入if说明右右孩子并且右孩子比左孩子大
            // 将childIndex指向右孩子
            childIndex++;
        }
        if (temp.compareTo(this.elements.get(childIndex)) > 0) {
            break;
        }
        this.elements.set(index, this.elements.get(childIndex));
        index = childIndex;
        childIndex = leftChildren(index);
    }
    this.elements.set(index, temp);
}