- 树 Story 第四篇 - 多路查找树
本文详细阐述了多路查找树原理，适合新手阅读，以及老手回顾。 全文三千字，阅读时间 20 分钟。
有别于二叉查找树，多路查找树的子节点不局限于 2 个，同时节点内的 key 不局限于 1个。
下面我们以 2-3 树（最简单的多路查找树）为例来讲述。
What ?!
有人可能第一次听说「2-3」树这个说法。
何为 2-3 树 ？
2-3树是最简单的B-树（或-树）结构，其每个非叶节点都有两个或三个子女，而且所有叶都在统一层上。2-3树不是二叉树，其节点可拥有3个孩子。不过，2-3树与满二叉树相似。高为h的2-3树包含的节点数大于等于高度为h的满二叉树的节点数，即至少有2^h-1个节点。——百度百科
每个节点里可以包含 1 或 2 个 key，子节点数量是父节点 key 的数量 +1，左子节点 key 小于父节点左 key，右子节点 key大于父节点右 key，中间子节点 key 大于左 key 小于右 key。
包含两个孩子的节点称为「2-节点」，二叉树中的节点都是2-节点。
包含三个孩子的节点称为「3-节点」。
注：文中提到的 key 为一个节点里的数据索引，一个节点可能会包括 2 个 key。
2-3 树的特型总结一下就是：
- 所有叶子节点在一个同一层。
- 如果一个非叶子节点有 1 个 key，其必有 2 个子节点，并大于左子节点，小于右子节点。
- 如果一个非叶子节点有 2 个 key，其必有 3 个子节点，左 key 大于左子节点，右 key 大于右子节点，中子节点大于左 key 并小于右 key。
为何 2-3 树 ？
2-3树与二叉树的区别为：
- 二叉树每个节点只有一个 key，而 2-3 树可以有 2个
- 二叉树的叶子节点可以不在同一层（满二叉树除外），而 2-3 树的叶子节点在同一层
如果没有 「3-节点」那么它就是一个棵「满二叉树」
2-3 树与二叉树的本质性区别就在于节点内包含多个 key，而这个特性意味着 2-3 树的一个节点可以包含更多的数据。而数据对于 IO 操作来说，是非常重要的。硬盘的一次 IO 操作，相比于 CPU 的计算效率来说，简直是太慢了。不仅会导致进程阻塞，而且在执行效率上会大打折扣。在大规模的数据集查找过程中，可能不能所有数据都要放到内存里，这样就会有硬盘 IO 的操作。而多路查找树相比于二叉树，有更少的查询次数。
通常在缓存查找树结构的时候，会以层为单位缓存，多路查找树单层的数据会存储更多数据，从而减少 IO 次数。比如上图，假如 2-3 树缓存了第二层节点 [10, 20 , 80]，如果要查找数据 9，需要一次 IO：由 [10,20] 读到第三层 [9]。二叉树缓存根节点 [15, 80]，则需要两次 IO: 先读取到第三层 [10, 20, 70, 90 ]，再读到第四层 [9]。
综上我们可以看到，多路查找树可以为数据查找节省更多的 IO 操作。由于每个节点内 key 的数量是有限的，所以多路查找树的时间复杂度与二叉查找树是一样的： O(logN)
插入 Key
因为 2-3 树是多路查找树，所以插入 Key 的节点的位置肯定是在叶子节点上。那么插入的情形有如下两种情况：
- 插入 Key 的节点包含一个 key，则直接插入。
- 插入 Key 的节点包含两个 key，则需要将节点分裂，形成单 key 两子节点的结构，并将新节点视为「新插入 Key 的节点」，参照情况 1 进行处理。
1. 插入 Key 的节点包含一个 key，则直接插入。
2. 插入 Key 的节点包含两个 key，则需要将节点分裂，形成单 key 两子节点的结构，并将新节点视为「新插入 Key 的节点」，参照情况 1 进行处理。
分裂 [6,9] 节点
插入节点和父节点都已经包含了两个 key
如果向上抛到根节点，key 超出了限制，无法满足 2-3 树的要求，说明当前 2-3 树已经不能容纳要存储的数据，则需要将根节点分裂，新增一层，策略同情况 2。
删除 Key
删除 Key 的节点包含四种情况：
- 包含 1个 key
- 包含 2个 key
- 叶子节点
- 非叶子节点
删除 与插入不同，插入只能从叶子节点插入，然后向上平衡。而删除可以在叶子节点删除，也可以在非叶子节点删除，所以删除的情况会更复杂一些。
- 删除 key 的节点是叶子节点，且有两个 key ，那么直接删除 key 即可。
- 删除 key 的节点是非叶子节点，那么需要找到要删除 key 的后继 key 并交换两个 key，然后再继续判断删除此 key （位置已经交换）的情形。
- 删除 key 的节点是叶子节点，且只有一个 key，那么删除 key 等于删除节点。叶子节点被删除后，2-3 树被破坏，需要重新平衡。
后继节点交换后，如果叶子节点包含 2 个 key，则可以直接删除此 key。但是如果叶子节点只包含 1 个 key，删除 key 后，需要重新平衡。
1. 删除 key 的节点是叶子节点，且有两个 key 。
2. 删除 key 的节点是非叶子节点。
需要找到要删除 key 的后继 key 并交换两个 key，然后再继续判断删除此 key （位置已经交换）的情形。
当删除 key 所在节点只有 1 个 key时，删除 key 等同于删除节点。这时需要重新平衡 2-3 树
3. 重新平衡删除 key 的节点是叶子节点，且只有一个 key
那么删除 key 等于删除节点。叶子节点被删除后，2-3 树被破坏，需要重新平衡
重新平衡时需要参考父节点和兄弟节点的 key 的个数：
-
父节点 1 个 key，兄弟节点 2 个 key。则将兄弟节点分裂，与父节点重新构成 2-3 树结构。
-
父节点 1 个 key，兄弟节点 1 个 key。则将兄弟节点与父节点合并为一个节点，对新节点遵循1、2、3种父节点和子节点的情况再进行平衡。
-
父节点 2 个 key，兄弟节点有「左中右」三种情况。由于左与右是对称的，所以又延伸里的 4 种子情况。
i. 删除节点为右（左）节点，且中间节点只有 1 个 key，则父节点中的右（左） key 与中间节点合并。此时父节点有 1 个 key，2个子节点，满足 2-3 树。
ii. 删除节点为右（左）节点，且中间节点有 2个 key，则父节点的右（左） key 下移作为新右节点，中间节点（子树）的右（左） key 与父节点合并。此时父节点有 2 个 key，3 个子节点，满足 2-3 树。
iii. 删除节点为中间节点，且右（左）节点有 1 个 key，则父节点的右（左） key 下移，与右（左）节点合并。此时父节点有 1 个 key，2 个子节点，满足 2-3 树。
iv. 删除节点为中间节点，且右（左）节点有 2 个 key，则父节点的右（左）key 下移作为新中间节点，右（左）节点（子树）左（右）key 与父节点合并。此时父节点有 2 个 key，3 个子节点，满足 2-3 树。
注：以上注明节点（子树）代表在递归情况下，并不是选择节点的 key，而且选择子树的最大（右）或最小（左）key
1. 父节点 1 个 key，兄弟节点 2 个 key。
则将兄弟节点分裂，与父节点重新构成 2-3 树结构。
兄弟节点分裂后，左 key 节点为新父节点，父节点下移为新左节点，右 key 节点仍为新右节点
2. 父节点 1 个 key，兄弟节点 1 个 key。
则将兄弟节点与父节点合并为一个节点，对新节点遵循1、2、3种父节点和子节点的情况再进行平衡。
3. 父节点 2 个 key
兄弟节点有「左中右」三种情况。由于左与右是对称的，所以又延伸里的 4 种子情况。
i. 删除节点为右（左）节点，且中间节点只有 1 个 key，则父节点中的右（左） key 与中间节点合并。此时父节点有 1 个 key，2个子节点，满足 2-3 树。
ii. 删除节点为右（左）节点，且中间节点有 2个 key，则父节点的右（左） key 下移作为新右节点，中间节点的右（左） key 与父节点合并。此时父节点有 2 个 key，3 个子节点，满足 2-3 树。
iii. 删除节点为中间节点，且右节点（左节点）有 1 个key，则父节点的右（左） key 下移，与右节点（左节点）合并。此时父节点有 1 个 key，2 个子节点，满足 2-3 树。
iv. 删除节点为中间节点，且右（左）节点有 2 个 key，则父节点的右（左）key 下移作为新中间节点，右（左）节点左（右）key 与父节点合并。此时父节点有 2 个 key，3 个子节点，满足 2-3 树。
简而言之，删除节点后，主要的操作有：
- 父节点 key 下移成为新子节点
- 子节点 key 上移与父节点合并
总结
2-3 树是最简单的多路查找树，多路查找树相比于二叉树，有更低的层级，更宽的数据范围。这些特性恰当的解决了由于树比较高在磁盘 IO 中频繁读写的问题。除了 2-3树，还有 2-3-4树，与2-3树大同小异，2-3-4 树单节点的 key 数量比 2-3 树多一个，子节点同时也可以多一个。
不难看出 MySQL 里面常用的 B 树或 B+ 树的结构也是一个多路查找树，详情请看下一篇「B 树」。
练习题
删除节点 70
