LeetCode题解：69. x 的平方根，牛顿迭代法+递归，JavaScript，详细注释

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解题思路：

1. 要理解牛顿迭代法，我们需要先回顾一下导数，或者可以看这一篇导数入门。
2. 题解参考了二分查找 + 牛顿法（Python 代码、Java 代码）、牛顿迭代法、69. x 的平方根-二分查找, 牛顿法。
3. 根据题意，该题是这样一个方程$x^{2}=a$，已知$a$求$x$。可以将其用函数$f(x)=x^{2}-a$代替。
4. 这个函数的导数是$2x$，也就是$2x_0=\cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
5. 将$f(x)=0$带入，可以得到$2x_0=\cfrac{-f(x_0)}{x-x_0}$。
6. 将$f(x_0)=x_0^{2}-a$带入，可以得到$2x_0=\cfrac{a-x_0^{2}}{x-x_0}$。
7. 将等式整理，可以得到$x=\cfrac{x_0+\cfrac{a}{x_0}}{2}$。

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function (x) {
  function sqrt(x0) {
    // 当遇到第一个x0 * x0 <= x的值时，表示已经得到最接近的结果，将x0的整数部分返回即可
    // 用Math.floor将x0*x0向下取整
    // 避免例如TestCase: 5，会出现x0 * x0=5.000000000000001，造成死循环
    if (Math.floor(x0 * x0) <= x) {
      return Math.floor(x0);
    }

    // 套用分析得到的迭代公式，计算出新的x0
    x0 = (x0 + x / x0) / 2;

    return sqrt(x0);
  }

  return sqrt(x);
};