时间复杂度笔记

Abstract data type

Stack
    Vector
Queue
    Linked List
    Priority Queue
        Heap
Set
    Hash Set
    Tree Set
Map
    Hash Map
    Tree Map
    

Big O notation

O(1): Constant Complexity: Constant 常数复杂度

int n = 1000; 
System.out.println("Hey - your input is: " + n);


int n = 1000; 
System.out.println("Hey - your input is: " + n); 
System.out.println("Hmm.. I'm doing more stuff with: " + n); 
System.out.println("And more: " + n);

O(log n): Logarithmic Complexity: 对数复杂度

for (int i = 1; i < n; i = i * 2) { 
 System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i); 
}

O(n): Linear Complexity: 线性时间复杂度

for (int = 1; i<=n; i++) { 
 System.out.println(“Hey - I'm busy looking at: " + i); 
}

O(n^2): N square Complexity 平⽅

for (int i = 1; i <= n; i++) { 
  for (int j = 1; j <=n; j++) { 
   System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i + " and " + j); 
   } 
}

O(n^3): N square Complexity ⽴⽅

for (int i = 1; i <= n; i++) { 
  for (int j = 1; j <=n; j++) { 
  	for (int j = 1; j <=n; j++) { 
        System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " 
        	+ i + " and " + j + " and " + k); 
     }
   }
}

O(2^n): Exponential Growth 指数

O(k^n) 
for (int i = 1; i <= Math.pow(2, n); i++){ 
 System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i); 
}

O(n!): Factorial 阶乘

for (int i = 1; i <= factorial(n); i++){ 
 System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i); 
}

example

为什么要关注时间复杂度呢，我们都知道 O(1) 的时间复杂度是最低的，执行时间也是最短的，我们写程序的时候也要尽量向O(1) 和 O（N）优化，了解了时间复杂度，我们也就了解了代码优化的方向

累加求和

1+2+...+n

O（N）的解法

let y = 0;
function add(n){for(let i = 1; i < n + 1; i++){
 y = y + i
}
 return y;
}

O(1) 的解法

function add(n){
 return n * (n+1) / 2;
}

直接利用公式，不需要考虑 i 的初值和 循环结束时 n 的值，降低错误风险

斐波那契数列

F(n) = F(n-1) + F(n-2)， 时间复杂度为 O（2^n）, 左右两边会重复计算

Master Theorem

在算法分析中，支配理论（英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。