题目：
最初在一个记事本上只有一个字符 'A'。你每次可以对这个记事本进行两种操作：
Copy All(复制全部) : 你可以复制这个记事本中的所有字符(部分的复制是不允许的)。Paste(粘贴) : 你可以粘贴你上一次复制的字符。
给定一个数字 n 。你需要使用最少的操作次数，在记事本中打印出恰好 n 个 'A'。输出能够打印出 n 个 'A' 的最少操作次数。
示例：
输入: 3
输出: 3
解释:
最初, 我们只有一个字符 'A'。
第 1 步, 我们使用 Copy All 操作。
第 2 步, 我们使用 Paste 操作来获得 'AA'。
第 3 步, 我们使用 Paste 操作来获得 'AAA'。
题解：
一：素数分解：
看了 36 个 'A' 的分解之后，我们发现题目要求的就是 36 的所有素因子之和。素因子是指，该因子不可再次拆分。
为什么非得拆解成 素因子 呢？因为当一个因子还可以分解成更小的因子的时候，那么分解后的结果会更小。 比如 36 = 18 * 2，题目所求的最优结果是 18 + 2 = 20 么？显然不是，因为如果把18 拆开 36 = 3 * 6 * 2，此时复制粘贴的个数只需要 3 + 6 + 2 = 12 次。但这仍然不是最优结果，36 = 3 * 2 * 3 * 2，此时复制粘贴的个数只需要 3 + 2 + 3 + 2 = 10 次。此时已经是最优了。
具体证明就是要证明 m * n > m + n，等价于求 (m - 1)*(n - 1) > 1，当 m 和 n 大于 2 的时候上式永远成立。 至于代码，就是让我们求 n 能拆成哪些素因子。我们让 d 试探是否为因子从 2 开始递增，如果 n 能被 d 整除时，此时的 d 是 n 的一个素因子，求复制粘贴次数的结果中增加 d ；而且如果 d 是个素因子，那么要一次性把 n 中除掉所有的 d。
class Solution {
public int minSteps(int n) {
int ans = 0, d = 2;
while (n > 1) {
while (n % d == 0) {
ans += d;
n /= d;
}
d++;
}
return ans;
}
}
// by：负雪明烛
二：dp动态规划
当 n 为质数，比如 2 3 5 7 ，那么只能一个个进行 P，先 C ，再进行 n - 1 次 P，加上原本的 A， 总共 n 个 A，刚好 进行 n 次操作，即 dp[n] = n
当 n 为非质数，有以下分解过程（后面讲为什么）
n == 8
2 * 4：CP CPPP 6 步
4 * 2：CPCP CP 6 步
n == 12
2 * 6：CP CPPCP 7 步
6 * 2：CPPCP CP 7 步
3 * 4：CPP CPCP 7 步
4 * 3：CPCP PPP 7 步
n == 16
2 * 8：CP CPCPPP 8 步
4 * 4：CPCP CPCP 8 步
为什么只需要找其中一组即可，后面不会存在更小的步数么？
答案是不会，首先看上面分解，直观的可以看出分解的每组因子最终步数都是相同的 有这么一条定理：除 0 和 1 外，任何一个自然数都可以写成几个质数相乘的形式
假设 n = 12，那么
12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3
12 = 3 * 4 = 3 * 2 * 2
我们可以看出，12 最终都能分解成相同的质数乘积 2 * 2 * 3
dp[i] = dp[j] + dp[i / j] 中为什么是 加法 的形式？
比如 dp[12] = dp[6] + dp[2]，可以有以下理解：
先算出得到 6 个 A 需要多少步，然后需要 2 个这样的 6 个 A，那么相当于把前面的这 6 个 A 当作一个 A，需要得到 2 个
class Solution {
public int minSteps(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
for(int i = 2; i <= n; i++){
dp[i] = i;
for(int j = 2; j <= Math.sqrt(i); j++){
//找到一组分解因子即可 break
if(i % j == 0){
dp[i] = dp[j] + dp[i / j];
break;
}
}
}
return dp[n];
}
}
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