如何从 n 个数里找到最大值？
很容易想到，用一个循环就能搞定。
int find_max(int arr[n]){
int max = -infinite;
for(int i=0; i<n; i++)
if(arr[i]>max)
max=arr[i];
return max;
}
这里，需要执行 n-1 次比较。
如何从 n 个数里找到最大值与最小值？
很容易想到，用一个循环找到最大值和最小值，就能搞定。
(int, int) find_max_min(int arr[n]){
int max = -infinite;
int min = infinite;
for(int i=0; i<n; i++){
if(arr[i]>max)
max=arr[i];
if(arr[i]<min)
min=arr[i];
}
return (max, min);
}
这里，需要执行 2*(n-1)=2n-2 次比较。
还有没有更快的方法呢？
分治法或许可以派上用场，分治法的思路是：
(1) 把大规模拆分成小规模；
(2) 小规模分别求解；
(3) 小规模求解之后，再综合求解大规模；
看能不能往这个例子里套用：
(1) 将 arr[0,n] 分为 arr[0,n/2] 和 arr[n/2,n]；
(2) 每个子数组分别求解最大值和最小值；
(3) 两个子数组的最大值里再取最大值，两个子数组的最小值里再取最小值，就是最终解；
伪代码大概是这样：
(int, int) find_max_min(int arr[0,n]){
// 递归左半区
(max1, min1) = find_max_min(arr[0, n/2]);
// 递归右半区
(max2, min2) = find_max_min(arr[n/2, n]);
// 再计算两次
max = max1>max2?max1:max2;
min = min1<min2?min1:min2;
return (max, min);
}
画外音，实际的递归代码要注意：
(1) 入参不是 0 和 n，而是数组的下限和上限；
(2) 递归要收敛，当数组的上下限相差 1 时，只比较一次，直接返回 max 和 min，而不用再次递归；
分治法之后，时间复杂度是多少呢？
如果你是 “架构师之路” 的老读者，《搞定所有时间复杂度计算》一文，能够轻松求解分治法的时间复杂度分析：
-
当只有 2 个元素时，只需要 1 次计算就能知道最大，最小值
-
当有 n 个元素时，
(1) 递归左半区；
(2) 递归右半区；
(3) 再进行两次计算；
f(2)=1;【式子 A】
f(n)=2*f(n/2)+2;【式子 B】
求解递归式子，得到：
f(n)=1.5n-2;
画外音，证明过程如下：
【式子 B】不断展开能得到：
f(n)=2*f(n/2)+2;【式子 1】
f(n/2)=2*f(n/4)+2;【式子 2】
f(n/4)=2*f(n/8)+2;【式子 3】
...
f(n/2^(m-1))=2*f(2^m)+2;【式子 m】
通过这 m 个式子的不断代入，得到：
f(n)=(2^m)*f(n/2^m)+2^(m+1)-2;【式子 C】
由于 f(2)=1【式子 A】;
即【式子 C】中 n/2^m=2 时，f(n/2^m)=f(2)=1;
此时 n=2^(m+1)，代入【式子 C】
即 f(n)=n/2 + n -2 = 1.5n-2;
证明过程很严谨，但我知道你没看懂。
建议再看__看《搞定所有时间复杂度计算》__。
总结，n 个数：
-
求最大值，遍历，需要 n-1 次计算
-
求最大最小值，遍历，需要 2n-2 次计算
-
求最大最小值，分治，时间复杂度 1.5n-2
画外音：别跳出，文末有作业。
思路比结论重要，希望大家有收获。
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作业题，n 个数：
(1) 求最大值，n-1 次计算，是最快的方法吗？
(2) 求最大最小值，1.5n-2，是最快的方法吗？
