S01E04：点到平面的距离在 3D 几何中，如果求一个点C到平面的距离？如下图，平面 P 定义为：过 A 点，垂直于向

说明

在 3D 几何中，如果求一个点C到平面的距离？如下图，平面 P 定义为：过 A 点，垂直于向量 AB。也就是说：A 点在平面上，AB 则是平面的法线。

几何

利用几何知识，我们知道从点 C 向平面做垂线，这个线段长度就是点 C 到平面的距离。那么这个垂线的方向是什么，长度又是多少？很显然，垂线的方向就是平面的法线 AB 的方向（或者说相反方向），那么长度就是 AC 向量在法线 AB 上的投影长。恰好，向量的点积就可以求投影长，前提是 AB 为单位长度的向量。如果 AB 不是单位长度向量呢？只要用normalize方向将其变成单位向量就可以了。

//当 AB 长度为 1 时，点积就代表了 AC 在 AB 上的投影长
dot(AC, AB) = ||AC||*||AB||*cos𝜃

从向量点积的角度讲，计算出的距离可能是负的，意味着点在平面的背面方向，如果只需要数值的话，对结果取绝对值就好了。

代码

//定义平面
struct Plane {
    var position = simd_float3.zero
    var normal = simd_float3.zero
}

static func distanceBetween(point:simd_float3, plane:Plane) -> Float {
    let vector = point - plane.position
    let dotValue = dot(vector, normalize(plane.normal))
    return dotValue
}

平面的其他定义

这里我们在定义平面时，直接使用了点+法线的形式定义，实际中平面也可以由三个点来定义（不共线的三个点）。

那么这种情况下，又该如何呢？其实可以利用叉乘来求出法线：平面由 A、B、C 三个定义，构造向量 BA、BC，叉乘得到法线 BD，就可以用前面的公式来求其他点到平面的距离了。

还有另一种定义，用矩阵来定义平面，将某个矩阵的 xoy 平面或 xoz 平面做为要定义的平面。要转化成点+法线也非常简单，矩阵的平移分量（运动后的坐标原点）可以当做点，法线则根据定义，如果 xoy 平面则 z 轴就是法线，xoz 平面则 y 轴就是法线。

当然了，在这种情况下，平面的法线方面就需要自己根据情况选择了，如果只是计算距离，那任意选择都是可以的。