斐波那契数列斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci约出生于1170年，大约于1250年在现在意大利

一、斐波那契数列问题背景

斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci约出生于1170年，大约于1250年在现在意大利的比萨逝世，他履行的足迹遍布欧洲和北非。他著有多本数学课本，此外还把阿拉伯数字表示法引入欧洲。虽然他的书都是手抄本，但它们还是广为流传。斐波那契最著名的一本书是LiberAbaci，出版于1202年。其中提出了下述问题：

某人将一对兔子放在一个四周都是围墙的地方，如果假设每对兔子每个月生出一对兔子，且新生的兔子从第二个月开始就能生育，那么一年之后由最初的那对兔子一共产生多少对兔子

这个问题的解就是被称为斐波那契数列的集合：1、1、2、3、5、8、13....

通项公式为

$F_{k+2} = F_{k+1} + F_k\\$

注意，这个表述稍微转换一种说法——如果没有假设新生出的兔子需要一个月才能够成熟，进而能够生育，那么将不会有这个以斐波那契的名字命名的序列。因为这样的话，兔子的对数每过一个月就会翻倍，n个月过后，会有总共 [公式] 对兔子，虽然规律共容易，但在数学上没啥独特性。

二、标准的递归解-程序实现

MATLAB版-带有缓存机制

function f = fibonacci(n)
% this is my first function
f = zeros(n, 1); % 提前规定向量的大小，加快处理速度
f(1) = 1;
f(2) = 2;
for k = 3:n
    f(k) = f(k-1) + f(k-2);
end

输出结果

>> fibonacci(10)

ans =

     1
     1
     2
     3
     5
     8
    13
    21
    34
    55

Python版-纯递归机制

def fibonacci(n):
    if n <= 2:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

Python装饰器版-带有缓存机制

from functools import wraps


def memoization(func):
    """缓存装饰器"""
    cache = {}
    miss = object()

    @wraps(func)
    def wrapper(args):
        result = cache.get(args, miss)
        if result is miss:
            result = func(args)
            cache[args] = result
        return result

    return wrapper


@memoization
def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)


print(fib(9))

三、线性代数视角下的对角化解

3.1 原理探讨

通过上面的讨论，我们有斐波那契数列的递推式为

$F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k} \\$

总体思路：我们可以使用矩阵对角化来解决，将上面的式子化成 $U_k = AU_{k-1}$ 的形式，继而化成 $U_k = A^kU_0$ ，为了容易计算，我们采用对角化的方式

[公式]

1、组成方程组：

$F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k} \\ F_k = F_k \\$

2、根据上述方程组成矩阵表达式：

$U_{k+1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} * U_{k},其中U_{k+1}=\begin{bmatrix}F_{k+2} \\ F_{k+1} \end{bmatrix},U_k=\begin{bmatrix}F_{k+1} \\ F_k\end{bmatrix} \\$

3、求系数矩阵A的特征值和特征向量已对A进行对角化，

$\lambda_1 = 1.618 ; x_1 = \begin{bmatrix}\lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \lambda_2 = -0.618 ; x_2 = \begin{bmatrix}\lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix} \\$

4、特征向量矩阵S为：

$S = \begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix} \\$

5、将 $U_0$ 用特征向量表示， $U_0$ 表示斐波那契数列的前两项

$U_0 = c_1\cdot{x_1} + c_2\cdot{x_2} \Rightarrow \begin{bmatrix}x_1 & x_2 \end{bmatrix} \cdot{ \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}} \\$

6、最终结果为

$U_k = A^{k}\cdot{U_0}=(S \cdot{ \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}} \cdot{S^{-1}})^{k} \cdot{U_0} = S \cdot{ \begin{bmatrix}\lambda_1^{k} & 0 \\ 0 & \lambda_2^{k} \end{bmatrix}} \cdot{S^{-1}}\cdot{S}\cdot{\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix}} \\ = c_1*\lambda_1^k*x_1 + c_2 * \lambda_2^k*x_2$

所以给出k值，可以直接算出需要的斐波那契数列值，不必递归才能得到。

3.2代码实现

使用matlab编写上述步骤：

% 欲求斐波那契数列第n项，赋值k=(n-1)
% 赋值k，想要求第10项。1、1、2、3、5、8....
k = 9;
% 求斐波那契数列的第k项，初始值为u_0 = [0 1]
A = [1,1; 1 0];
% S为特征向量矩阵，D为对角阵
[S,D] = eig(A);
u_0 = [1;0];
% 用特征向量矩阵表示u_0
% u_0 = S * C -> C = inv(S) * u_0
C = S \ u_0;
u_k = S * D^k * C;

u_k

结果为：

>> diagonal

u_k =

   55.0000  % 第10项
   34.0000  % 第9项

学习线性代数真是有趣~

更多内容：zhuanlan.zhihu.com/p/119395137

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def consumer():
    r = ''
    while True:
        n = yield r
        if not n:
            return
        print('[CONSUMER] Consuming %s...' % n)
        r = '200 OK'

def produce(c):
    c.send(None)
    n = 0
    while n < 5:
        n = n + 1
        print('[PRODUCER] Producing %s...' % n)
        r = c.send(n)
        print('[PRODUCER] Consumer return: %s' % r)
    c.close()

c = consumer()
produce(c)


表格

参考来源

《MATLAB数值计算》书籍
《线性代数及其应用》书籍
《MIT线性代数》课程，这门课真是精彩！