什么是定点数?

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什么是定点数?

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在现实生活中,我们经常使用整数和小数,不知道你有没有思考过,这些数字在计算机中是如何存储的?

我们学习计算机知识时,经常听到「定点数」和「浮点数」,它们之间有什么区别?

平时说到整数,我们就说它是一个定点数,说到小数,就说它是一个浮点数,这种说法是正确的吗?

这篇文章,我们先来看一下,「定点数」究竟与整数和小数有什么关系。

什么是定点数?

要想理解什么是「定点数」,首先,我们需要理解「定点」究竟是什么意思?

我们都知道,数字既包括整数,又包括小数,而小数的精度范围要比整数大得多,所以如果我们想在计算机中,既能表示整数,也能表示小数,关键就在于这个小数点如何表示?

于是人们想出一种方法,即约定计算机中小数点的位置,且这个位置固定不变,小数点前、后的数字,分别用二进制表示,然后组合起来就可以把这个数字在计算机中存储起来,这种表示方式叫做「定点」表示法,用这种方法表示的数字叫做「定点数」。

也就是说「定」是指固定的意思,「点」是指小数点,小数点位置固定即定点数名字的由来。

定点数如何表示数字?

既然定点数只是表示数字的一种方式,那试想,它可以表示整数吗?可以表示小数吗?

答案是肯定的。

定点数如果要表示整数或小数,分为以下三种情况:

  1. 纯整数:例如整数100,小数点其实在最后一位,所以忽略不写
  2. 纯小数:例如:0.123,小数点固定在最高位
  3. 整数+小数:例如1.24、10.34,小数点在指定某个位置

对于前两种情况,纯整数和纯小数,因为小数点固定在最低位和最高位,所以它们用定点数表示时,原理是相同的,只需要把整数部分、小数部分,按照十进制转二进制的规则,分别转换即可。

而对于整数 + 小数的情况,用定点表示时,需要约定小数点的位置,才能在计算机中表示。

定点数表示纯整数和纯小数

听闻不如一见,我们举几个例子。先来看一下定点数如何表示纯整数和纯小数?

对于纯整数100,由于小数点固定在最低位,假定我们以 1 个字节(8 bit)表示,用定点数表示如下(D为十进制缩写,B为二进制缩写):

100(D) = 01100100(B)
复制代码

对于纯小数 0.125,由于小数点固定在最高位,同样以 1 个字节(8 bit)表示,用定点数表示如下:

0.125(D) = 0.00100000(B)
复制代码

从以上例子可以看出,这 2 种情况用定点数表示都比较简单,按照十进制转为二进制规则,即可得到结果。

定点数表示整数+小数

我们再来看定点数如何表示整数 + 小数?

这种情况下,我们需要先约定小数点的位置。

依旧以 1 个字节(8 bit)为例,我们可以约定前 5 位表示整数部分,后 3 位表示小数部分。

对于数字 1.5 用定点数表示就是这样:

1.5(D) = 00001 100(B)
复制代码

数字 25.125 用定点数表示就是这样:

25.125(D) = 11001 001(B)
复制代码

这就是用定点数表示一个小数的方式。这里再总结一下这个过程:

  1. 在有限的 bit 宽度下,先约定小数点的位置
  2. 整数部分和小数部分,分别转换为二进制表示
  3. 两部分二进制组合起来,即是结果

在计算机中,用定点数表示一个数字的方法,是不是很简单?

但是有没有发现一个问题,我们约定了前 5 位表示整数部分,后 3 位表示小数部分,此时这个整数部分的二进制最大值只能是 11111,即十进制的 31,小数部分的二进制最大只能表示 0.111,即十进制的 0.875。

如果我们想要表示更大范围的值,怎么办?

  1. 扩大 bit 的宽度:例如使用 2 个字节、4 个字节,这样整数部分和小数部分宽度增加,表示范围也就变大了
  2. 改变小数点的位置:小数点向后移动,整个数字范围就会扩大,但是小数部分的精度就会越来越低,没有办法表示类似 0.00001 这种高精度的值

由此我们发现,不管如何约定小数点的位置,都会存在以下问题:

  • 数值的表示范围有限(小数点越靠左,整个数值范围越小)
  • 数值的精度范围有限(小数点越靠右,数值精度越低)

总的来说,就是用定点数表示的小数,不仅数值的范围表示有限,而且其精度也很低。要想解决这 2 个问题,所以人们就提出了使用「浮点数」的方式表示数字,关于浮点数的表示方法,我们会在下一篇文章进行讲解。

虽然定点数表示数字,存在以上说的这些问题,但也只是在表示小数的场景下。如果只是用于表示整数,还是非常方便的。

所以,现代计算机中一般使用定点数来表示整数。

总结

这篇文章我们主要讲了,在计算机中如何使用定点数表示一个数字。总结如下:

  1. 定点数是在计算机中表示数字的一种方式,它既可以表示整数,也可以表示小数
  2. 在固定 bit 下,约定小数点的位置,然后把整数部分和小数部分分别转换为二进制,就是定点数的结果
  3. 受限于小数点的位置,用定点数表示小数时,数值的范围和小数精度是有限的
  4. 在现代计算机中,定点数通常用来表示整数,对于高精度的小数,通常用浮点数表示

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