前言
什么是递归？什么是回溯？它们有什么关系？
简单来说，递归是一种算法的结构，它表现为函数间接或直接地调用自己。而回溯是一种算法思想，它可以用递归这种算法结构来实现。回溯法类似与穷举法，与之不同的是回溯法中有“剪枝”操作，可以将它理解为优化后的穷举。
为什么难写？
对于大多数刚学习算法的同学来说，涉及到递归、回溯的代码常常令我们感到害怕。造成这种恐惧心理的原因主要有以下几点：
- 不知道回溯法代码长什么样。
- 递归控制不好，容易写死循环。
- 递归代码不好调试，靠“人脑调试”比较困难。 可以发现这几个原因是紧密相关的，你不知道回溯代码怎么写 -> 你容易写死循环 -> 你不好调试。那有没有克服恐惧的办法呢？ 有的。
套路
什么？写算法还有套路？在查询了N篇文章以后，我终于找到了回溯算法的套路。
回溯算法解题套路框架 <- 想深入学习的同学可以看看原文章，直接上干货：
回溯代码的框架：
result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择
很多同学上来就看蒙了，它说这是乱写的，这可不是乱写啊。路径、选择列表、结束条件，显然是有bear而来。
那么接下来就用一道实际的题目来教大家怎么套这个模板。
问题
n位逐位整除数（简称整除数）：从其高位开始，高1位能被整数1整除（显然），高2位能被整数2整除，…，整个n位能被整数n整除。例如，整数102450就是一个6位整除数。给定整数n，求所有的n位整除数的个数。
思路
让我求有多少个n位整除数，那么最直接的方法就是暴力穷举，我把所有n位数全表示出来，一个个判断不就行了嘛？这好吗？这不好。不妨试想我们在穷举过程中举到了以13开头的N数，那么根据题目所说13它本身肯定不是一个2位的整除数，那你说131，132，133......13XXXX,这样的数字我还要考虑嘛？肯定不用了。所以说，穷举它不能乱举，小伙子你不能走弯路。
那就像本文一开始提到的，回溯法是优化的穷举，它是个聪明的方法，不像穷举那么暴力鲁莽rude，它是有“剪枝”操作的，那么我就用它试试呗。
#include <iostream>
using namespace std;
void backtrack(int a,int t,int n,int &sum){
//补全代码
}
int main(){
int a=0;//用来穷举的工具人
int n;//要求n位整除数
cin>>n;
int sum;//计算有多少个n位整除数
backtrack(a,0,n,sum);
cout<<sum;
return 0;
}
看到这里很多人蒙了，这个backtrack函数怎么有4个传入参数呢？跟模板不一样啊！那个t是什么东西啊？为什么一开始要传t=0呢？别慌我们慢慢分析。
看到这这棵树，大师我悟了，原来t是指当前数字的位数也就是树的层数呗。那么为什么一开始要传0，相信你也懂了，因为我们要从根节点开始。上面的这棵树也就是回溯法的决策树。从树中我们可以很清楚地发现，如果我们要找一个3位数，那么我们只需要从根节点走到t=3也就是树的第三层。
我们就用这棵树来生动地展现回溯法中的“剪枝”操作。
我们之前提到过任何以13开头的数字都肯定不是整除数，所以我们将1-13这个边直接“掐死”，它后续所有的节点全部丢弃。这就叫“剪枝”。
记得我们上文提到三个关键词：路径、选择列表、结束条件。
首先，这题中什么是路径？路径顾名思义是一种记录，它记录了我们从起点到达终点，在这道题里，起点一定是“万恶之源”,也就是决策树的根节点，那么终点就是找到了n位的整除数，那么有没有一个东西记录了我们从根节点开始每一次的选择呢，显然，就是节点所对应的值。以139为例，它记录了我们第一次走了1然后选择了3最后选择了9。
那么很容易想到结束条件就是找到了n位数，便是到达了第n层,即t=n。
最后选择列表是什么呢？这也是本题的一个难点：t=1时，选择列表是1-9，t>1时，选择列表则是0-9。
做完了所有准备工作，接下来进入正题。
解决问题
上来照着模板就是一顿填写
void backtrack(int a,int t,int n,int &sum){
if(t==n){
sum++;//代表找到了一条“路径”
return;
}
for(int i=1;i<=9;i++){
a=a*10+i;//做选择
backtrack(a,t+1,n,sum);
a=(int)a/10;//撤销选择
}
}
然后答案出错，有这么简单吗？当然没有。 我们上面说到本题的一个难点就是当t=1时和t>1时选择列表不同，因此这里要分情况处理。
void backtrack(int a,int t,int n,int &sum){
if(t==0){ //t=0时选择列表为1-9
for(int i=1;i<=9;i++){
a=a*10+i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a=(int)a/10;
}
}
else{ //t>0时选择列表为0-9
if(t==n){
if(a%n==0){
sum++;
}
return;
}
for(int i=0;i<=9;i++){
a=a*10+i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a=(int)a/10;
}
}
}
这下没错了吧，都考虑这么周全了。运行一下：
n=1,输出9，嗯，没错
n=2,输出45，嗯，也没错
n=3,输出300，嗯？(正确为150)
......
n=6，输出150000，(正确为1200)越来越夸张，是不是哪里忘了？
分析为什么n=3开始就出错了，还是以13开头的数字为例，132走一遍我们的判断程序，sum会+1嘛？我们整个代码唯一能让sum++的只有这句话：
if(a%n==0){
sum++;
}
那么 132 % 3 = 0，糟了，sum会加1。
究竟漏了哪里呢？？？往上看，我们刚刚才拿13开刀过，我们用它展示了“剪枝”。那么我们的代码中有没有“剪枝”操作呢？很遗憾，没有。这也就是为什么会多出那么多假的整除数。好吧，让我们加上“剪枝”功能得到的就是完整的代码了。
void backtrack(int a,int t,int n,int &sum){
if(t==0){
for(int i=1;i<=9;i++){
a=a*10+i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a=(int)a/10;
}
}
else{
if(t==n){
if(a%n==0){
sum++;
}
return;
}
if(a%t!=0){ // *********** 剪枝操作 ***********
return;
}
for(int i=0;i<=9;i++){
a=a*10+i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a=(int)a/10;
}
}
}
再次运行，n=6，输出1200。大功告成!!! ^-^
备注
在位数较大时无法用int储存,因此可以使用数组的方式储存a，不过解题思路是一样的，使用数组存储a的递归函数如下：
void backtrack(int *a, int t, int n, int &sum)
{
int r,j;
for(r=0,j=1;j<=t;j++) {
r=r*10+a[j];
r=r%t;
} //r=0代表整除
if(t==0){
for(int i=1;i<=9;i++){
a[t+1]=i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a[t+1]=0;
}
}
else{
if(t==n){
if(r==0){
sum++;
}
return;
}
if(r!=0){
return;
}
for(int i=0;i<=9;i++){
a[t+1]=i;
backtrack(a,t+1,n,sum);
a[t+1]=0;
}
}
}
后话
这篇文章记录了我与朋友做这道题时思考的过程，对于算法我们俩都是新手中的新手。像很多学习算法的同学一样，之前看到递归、看到回溯都是害怕，觉得那太复杂了，自己肯定写不出来，只能照着别人的copy。
但是真正去尝试写后才发现原来也是有规律可循，真实的过程远比文章所记录的坎坷，我们写了很多次死循环，每一次都是通过下断点单步调试最终发现问题所在。写代码的能力很重要，但是调试代码的能力同样重要。写完代码后不禁感叹递归的精妙，短短几行代码便能解决问题，优雅。
写代码还是要勇于尝试，要敢写，错了就调试，然后修改，直到解决问题，这算是提升代码能力的必经之路。
好了，这是我写的第一篇博客，初次使用md，排版难免不够美观，作为一个算法初学者，文中的代码没那么优雅，干脆。所以还请各路大神多多指教，最后，谢谢，谢谢朋友们。
