最长公共子序列（LCS）| 动态规划

Longest Common Subsequence

• 和最长公共子串的区别： 最长公共子串要求是连续的，公共子序列不要求，但是顺序要对。比如：abcde 和 abefd 的最长公共子串是 ab，最长公共子序列是 abd。它们都不一定是唯一的，但长度是唯一的。
• 核心思想：
  • 如果两个序列的最后一个元素相同，那么LCS的最后一个元素一定是它；如果两个序列的最后一个元素不同，那么LCS的最后一个元素可能为二者之一，也可能都不是，所以其中一个序列的最后那个元素就是可有可无的（不影响LCS），比如 “hello” “heroine” 的LCS 和 “hello” “heroin” LCS完全一样。但是当时无法知道哪个是没用的。
  • 所以求解 “hello” “hero” 的LCS 可以化解成 --> 求解 “hell” “her” 的LCS + ‘o’。 “hell” “her” 的LCS 又可以化解成 -->求解 “hel”“her” 和 “hell”“he”中那个最终长度较长序列的LCS。
• 实现方法：
  1. 序列从空开始逐渐增加，自底向上求解
     • 要先求出最长子序列的长度，再推出序列
     • 只要理解下面的递推公式或者表格就可以写代码求出LCS长度啦
     • 再理解倒推出LCS的方法就可以写代码求出LCS啦
  2. 递归，自顶向下求解（本文章暂时没写...以后补上）

LCS长度的递推公式

LCS长度的二维表格

一行一行填，原则：LCS长度的递推公式

倒推出LCS

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    string a, b, lcs;
    cin >> a;
    cin >> b;
    int len_a = a.length();
    int len_b = b.length();

    int dp[len_a + 1][len_b + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    // 求长度
    for (int i = 0; i < len_a; i++)
    {
        for (int j = 0; j < len_b; j++)
        {
            if (a[i] == b[j])
            {
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
            }
            else if (dp[i][j + 1] > dp[i + 1][j])
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j + 1];
            else
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j];
        }
    }

    cout << "the length of LCS is " << dp[len_a][len_b] << endl;

    // 求LCS
    for (int i = len_a - 1, j = len_b - 1; i >= 0;)
    {
        if (a[i] == b[j])
        {
            lcs = a[i] + lcs;
            i--;
            j--;
        }
        else if (dp[i][j + 1] > dp[i + 1][j])
            i--;
        else
            j--;
    }

    cout << "LCS = " << lcs << endl;
}

不知道有没有讲清楚😅，欢迎交流指正！😊