【一天一大 lee】不同路径 (难度:中等) - Day20201209一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（

题目:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

不同路径

例如，上图是一个 7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例:

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * $10^9$

抛砖引玉

思路

借助 m 和 n，生产一个 m*n 的数组(矩阵)，矩阵中填充 1，表示不管之前怎么组合，对于一个单元格，选择经过它就会生成一个经过它的新路径
迭代这个矩阵，从[0][0]到[m][n]
m 中的指针 i ，n 中的指针 j，迭代过程中 dp[i][j]中存到从[0][0]到达[i][j]的路线种类
dp[i][j]的值等于到达[i][j]的前一步的所有可能的所有可能（及上、左两个入口）： $dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]$

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    const dp = Array(m).fill(Array(n).fill(1))
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1]
}

降维

观察上面的逻辑，dp[i][j]只与 dp[i][j-1] 、 dp[i-1][j]，那么针对行（或者列）的累加到同一列（或者行）就能实现 dp 的降维

var uniquePaths = function(m, n) {
    const dp = Array(n).fill(1)
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]
        }
    }
    return dp[n - 1]
}

组合数学

从[0][0]到[m][n]过程中，需要移动 m+n−2 次，其中有 m−1 次向下移动，n−1 次向右移动

因此路径的总数，就等于从 m+n−2 次移动中选择 m−1 次向下移动的方案数，即组合数：

C^{m+n-2}_{m-1} = \left(\frac{m−1}{m+n−2}\right) = \frac{(m−1)!}{(m+n−2)(m+n−3)⋯n} = \frac{(m−1)!(n−1)!}{(m+n−2)!}

var uniquePaths = function(m, n) {
    let _result = 1
    for (let x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
        _result = Math.floor((_result * x) / y)
    }
    return _result
}

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