算法分类

1. 问题复杂性分类

计算的定义：1936年图灵在图灵机模型上提出计算形式化的定义。将符号串变成另一个符号串。

图灵机的结构：一台多带图灵机由一个有限状态控制器和k条读写带组成。

• 可计算与不可计算问题
  • 停机问题：停机问题计算机不可解决，在程序静态编译时可进行检查。
• 实际可计算问题的定义：20世纪70年代
  • Cook-Karp 论题：一个问题是实际可计算的，当且仅当它在图灵机经过多项式时间（步数）计算得到正确结果。
    • 实际可计算
    • 实际不可计算
• 易解问题与难解问题
  • 易解问题：多项式时间内可解决
  • 难解问题：指数时间内可解决

为什么多项式时间为易解问题和难解问题的分解？

• 多项式函数和指数函数的增长率有本质区别。
• 计算机性能的提高对多项式时间算法和指数时间算法影响不同。对多项式时间算法性能提升较大。

2. P 类与 NP 类问题

从是否被验证（判定问题）的角度，计算复杂理论将难解问题进一步划分为 NP 问题和非 NP 问题。所有多项式时间内验证的问题为 NP 问题。

• 汉密尔顿问题：
  • 求解问题：给定一个图，求出它的汉密顿回路。
  • 判定问题：给出任意一个序列，判断是不是汉密顿回路。
• TSP，NP 完全问题
  • 求解问题：求最短路径
  • 判定问题：给定一条路径，判断是不是最短路径。

确定性算法与 P 类问题

Polynomial

• 确定性算法：算法在执行过程中每一步只有一个确定的结果。对于同一输入实例，所得的结果严格一致。
• P 类问题：具有多项式时间的确定性算法来求解的判定问题。

非确定性算法与 NP 类问题

Non-deterministic Polynomial

• 非确定性算法：采用如下的猜测并验证的方式工作。
  • 猜测阶段：对问题的输入实例产生一个任意字符 y，每运行 y 值可能不同。
  • 验证阶段：用确定性算法验证。
• NP 类问题：具有多项式时间的非确定性算法来求解的判定问题。

3. NP 完全问题

# 输入，问题，输出
I1 -> 问题1 -> O1
I2 -> 问题2 -> O2

则问题1到问题2的变换有3个步骤：

• 输入转换：I1 -> I2
• 问题求解：I2 -> 问题2 -> O2
• 输出转换：O2-> O1

如在 O(t(n)) 时间内完成上述转换，则称问题 1 以t(n) 时间变换到问题 2。

• 定义

  令问题1为判定问题，如果问题1属于NP问题，且对于NP 类问题中的每个命题，都可以由问题1变换而来，则称问题 1 为一个 NP 完全问题，记为 NPC。

  • 第一个 NPC 问题：SAT，布尔可满足问题。