从0到n每个数二进制枚举子集的总复杂度

leetcode 第 218 场周赛第四题，坑了我许久。看到许多解答是用状态压缩（具体而言，二进制子集枚举）DP 来做的，典型如 大佬z zerotrac 的题解。当中提到：

1. 对于位数不超过 $n$ 的二进制数，枚举它的所有子集的时间复杂度为 $O(2^n)$。
2. 然而如果我们枚举每一个不超过 $n$ 的二进制数的所有子集，(即，0 枚举子集，1 枚举子集，2 枚举子集，... $2^n - 1$ 枚举子集)，那么时间复杂度实际上不是 $O(2^n \cdot 2^n) = O(4^n)$，而是 $O(3^n)$，具体可以用二项式定理来证明。

题目中 $n$ 的最大值是 16，所以 $4^n = 2 ^{32} > 10^9$ 显然会超时，如果复杂度果真如此，这个状压 DP 方法就不能用了。而如果是 $3^n$ 则不会超时。所以搞清楚这里的复杂度对于确认思路是非常关键的。

随手证明一下：

考虑 $0, 1, 2, ... 2^n-1$ 每一个数都做子集枚举。那么，

• 空集（$0$) 是每个数的子集，因此出现了 $2^n$ 次。
• 对于某个大小为 $1$ 的子集，它会被 $\frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$ 个数包含。原因容易理解，因为 $0, 1, 2, ... 2^n-1$ 实际上均匀地列出了 $2^n-1$ 的各个子集，因此对于某元素来说，会有一半的子集中该存在该元素，而另一半不存在。而大小为 $1$ 的子集共有 $C_n^1$ 个。
• 对于某个大小为 $2$ 的子集，它会被 $\frac{2^n}{2^2} = 2^{n-2}$ 个数包含。而大小为 $2$ 的子集共有 $C_n^2$ 个。
• ……
• 对于大小为 $n$ 的子集，它会被 $\frac{2^n}{2^n} = 2^{0}$ 个数包含。而大小为 $n$ 的子集只有一个。（对于全集，只有最后那个全集 $2^n-1$ 能枚举到它。）

所以全部加起来，正好是 $count = C_n^0 \cdot 2^n + C_n^1 \cdot 2^{n-1} + C_n^2 \cdot 2^{n-2} + \ldots + C_n^n \cdot 2^0$。

自动脑补每一项乘以 $1$ 的某些次方，结果正好是 $(2 + 1) ^ n$ 的二项展开式。因此，每个数枚举子集的复杂度总和确实为 $3^n$。只要写的时候加上合适的预处理和剪枝，过题是没问题的。