基本概念

Bloom filter是一个空间高效（space- efficient）概率算法，被用于测试一个元素是否存在于一个集合中。存在假阳性（false positive，表示实际是假但误辨为真的情况）匹配的可能，但不存在假阴性（false negatives）的可能。也就是说，一次查询返回的结果是可能在集合里或者绝对不在集合里。最常用的操作是校验元素是否存在于集合中，也可以添加元素，但不可以删除元素。同时，越多元素被加入到集合中，假阳性的概率就会越高。 Bloom filter一般应用在内存有限的索引场景，在可容忍的低误判的情况下，以极低的存储代价，实现去除绝大部分不必要的查询的便利。

定义

一个空的bloom filter是一个有 m 位的位数组，同时也定义 k 个哈希函数，每一个哈希函数映射元素到位数组的其中一个位。

添加：设置每一个哈希函数映射到的位为1。查询：查询每一个哈希函数映射到的位是否都为1。只要有任意一个位不为1，则表明该元素绝对不存在。如果都为1，但也只能表明该元素可能存在（对于一般的bloom filter实现）。删除：不支持。

补充：要枚举所有在bloom filter中的元素是很困难的（譬如，需要许多的硬盘读取）

假阳性比例过高时，可以重新生成一个过滤器（以使得过滤器的假阳性低于某一个标准），只是这是一种相对非常少见的情况。

应用

Google Bigtable、Apache Hbase、Apache Cassandra、PostgreSQL使用bloom filter来减少在磁盘上对不存在的行或列的查找。避免代价高昂的磁盘查询可以有效地提高数据库的查询性能。
Google Chrome使用bloom filter来识别有害url。
Microsoft Bing使用多层级的bloom filter来作为搜索的索引（BitFunnel，github上有对应的repo）。
Bitcoin曾使用bloom filter来加速同步数字钱包。
Medium使用bloom filter以避免对同一用户重复推荐相同的文章。
Ethereum使用bloom filter在区块链上快速搜索logs。

概率分析

假阳性的概率（probability of false positive）

一个重要的前提条件，哈希函数映射到数组的每一个不同位置的概率是相等的，即简单均匀散列（simple uniform hashing）。

假设 m 为数组的位数，在对布隆过滤器插入一个元素时，某一位未被某一哈希函数（映射到）设置为1的概率是 $1 - \frac{1}{m}$ 。因为数组长度为m，任意某一位被任意某一哈希函数设置为1的概率是 $\frac{1}{m}$ ，那么未被设置为1即可得。

假设 k 为哈希函数的数量，每一个都是互相独立的（任意一个哈希的结果不依赖于任意其他的哈希结果），那么数组中的某一位未被散列函数设置为1的概率是 $(1 - \frac{1}{m})^k$ 。

根据微积分的知识，我们知道一个特殊的极限（也是自然对数 e 的定义） $lim_{x \to -\infty}{(1 - \frac{1}{m})^k} = \frac{1}{e}$ 又因为 $(1-\frac{1}{m})^k = ((1-\frac{1}{m})^m)^\frac{k}{m} \approx e^{-\frac{k}{m}}$ 所以我们可以得到，插入 n 个元素后，数组中任意某一位仍然为 0 的概率为 $(1-\frac{1}{m})^{kn} \approx e^{-\frac{kn}{m}}$ 未被置1的概率为 $1 - (1-\frac{1}{m})^{kn} \approx 1 - e^{-\frac{kn}{m}}$

现在，如果需要检验一个实际上元素不在集合中，但 k 个哈希函数映射的位置却都置为了1的情况，也就是假阳性的情况的概率： $(1 - [1-\frac{1}{m}]^{kn})^k \approx (1 - e^{-\frac{kn}{m}})^k$

另有一个分析方法可以不依赖独立性的假设，证得与前面的结果一致。

进一步推断可得，当数组的位数 m 增加时，假阳性的概率会降低；当插入元素的次数 n 增加时，假阳性的概率会增加。

源码分析

以太坊源码中使用到的bloom filter的实现：github.com/steakknife/bloomfilter

计算假阳性概率，与数学分析的公式相似

$(1 - e^{-\frac{k(n + 0.5)}{m - 1}})^k$

func (f *Filter) FalsePosititveProbability() float64 { 
	k := float64(f.K()) 
	n := float64(f.N()) 
	m := float64(f.M()) 
	return math.Pow(1.0-math.Exp(-k)*(n+0.5)/(m-1), k) 
}

根据数列位数 m 和预计加入元素的最大数量 maxN 来预估最佳的映射函数个数 K

$K = ceil(\frac{m * \log_e 2}{maxN})$ ceil即使取下界。

func OptimalK(m, maxN uint64) uint64 { 
	return uint64(math.Ceil(float64(m) * math.Ln2 / float64(maxN))) 
}

根据预计加入元素的最大数量 maxN 和可接受最大假阳性概率 p 来预估最佳的数列位数 m

$m = ceil(\frac{-maxN * log_2 p}{(log_e 2)^2})$

func OptimalM(maxN uint64, p float64) uint64 { 
	return uint64(math.Ceil(-float64(maxN) * math.Log(p) / (math.Ln2 * math.Ln2))) 
}

bloom filter 内部结构

type Filter struct { 
	lock sync.RWMutex //使用读写锁保证线程安全
	bits []uint64 // 数列，采用位向量bitvector的方式存储
	keys []uint64 // 散列函数keys，此处存储散列算法用到的随机数
	m    uint64 // 数列的位数
	n    uint64 // 已经插入的元素数 
}

哈希函数

先取待哈希的值的Sum64值到rawHash。 Filter.keys是存放着 n 个随机数。取每一个其中的数与rawHash进行异或XOR操作，得到的结果放到hashes的切片中。

func (f *Filter) hash(v hash.Hash64) []uint64 { 
	rawHash := v.Sum64() 
	n := len(f.keys) 
	hashes := make([]uint64, n) 
	for i := 0; i < n; i++ { 
		hashes[i] = rawHash ^ f.keys[i] 
	} 
	return hashes 
}

添加元素

0x3f（16进制） = 0011 1111（二进制） = 63 （十进制） F.bits[i>>6] |= 1 << uint(i&0x3f) 位向量（bit vector）的set操作。整个添加的流程即有 n 个随机数，进行异或得到 n 个中间值，然后再求余（一种散列映射的方式），根据位向量set到filter的数列里。

func (f *Filter) Add(v hash.Hash64) { 
	f.lock.Lock()
	defer f.lock.Unlock() 

	for _, i := range f.hash(v) {
		// f.setBit(i)
		i %= f.m
		f.bits[i>>6] |= 1 << uint(i&0x3f)
	}

	f.n++ 
}

验证元素是否存在

类似，迭代「哈希，求余，位向量test操作」。

// false: f definitely does not contain value v 
// true:  f maybe contains value v 
func (f *Filter) Contains(v hash.Hash64) bool { 
	f.lock.RLock() 
	defer f.lock.RUnlock() 
	r := uint64(1) 
	for _, i := range f.hash(v) { 
		// r |= f.getBit(k) 
		i %= f.m
		
		// &=，若有0，即表示元素存在的任意一位为0，r都会是0
		r &= (f.bits[i>>6] >> uint(i&0x3f)) & 1
	} 
	
	return uint64ToBool(r) 
}

bloom filter浅析（基本概念，概率分析，源码分析）