离散数学笔记：集合：运算，势，基数

注：仅为个人学习笔记，内容一定会有不严谨（甚至错误）的地方，内容仅供参考。
另求各路大佬批评指点

幂、并、交、差、相等、包含

1. 幂集是子集的集合（当然，也包括空集和它自己，即全集）。 A 的幂集记作 ρ(A)，若 A 有 n 个元素，则 ρ(A) 有 2ⁿ 个元素；

2. ∩、∪均满足幂等、交换、结合、分配、吸收 A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A 、德摩根律；

3. 两个集合的差：

   $$A-B=\lbrace x|x\in A\wedge x \notin B \rbrace$$

4. 集合相等，就是两个集合相互包含

   $$A=B\iff A\subseteq B \wedge B \subseteq A$$

5. 集合包含，就是被包含集合的每个元素都属于包含其的集合

   $$A\subseteq B \iff \forall x \in A, x \in B$$

环和、环积、笛卡尔积

1. 环和，又称对称差，是去掉这两个集合交集的并集。

   $$A\oplus B=(A-B)\cup(B-A)=\lbrace x|x\in A \wedge x\notin B \vee x \in B \wedge x \notin A \rbrace \\ A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)=(A\cup B)\cap(\overline A \cup \overline B )$$

   环和的推论：

   $$\overline A \oplus \overline B = A \oplus B \\ A\oplus B=B\oplus A\\ A\oplus A=\empty \\$$

   环和满足结合律：$(A\oplus B)\oplus C=A \oplus (B\oplus C)$
   交对环和可分配：$C\cap (A\oplus B)=(C\cap A)\oplus(C\cap B)$

2. 环积（即环和的非）

   $$A\otimes B=\overline { A \oplus B }$$

   推论：

   $$A\otimes B = \overline A\otimes \overline B\\ A\otimes B = B\otimes A\\ A\otimes A = U$$

   环积满足结合律：

   $$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$$

   交对环积可分配：

   $$A∩(B\otimes C)=(A∩B)\otimes (A∩C)$$

3. 笛卡尔积：

   $$A×B=\lbrace (x,y)|x∈A∧y∈B \rbrace$$

   例如：$A={a,b}, B= {0,1,2}$，则：

   $$A×B=\lbrace <a, 0>, <a, 1>, <a, 2>, <b, 0>, <b, 1>, <b, 2> \rbrace \\ B×A=\lbrace <0, a>, <0, b>, <1, a>, <1, b>, <2, a>, <2, b> \rbrace$$

   笛卡尔积不满足交换律，也不满足结合律
   $A×B=\empty，\text{iff.} A=\empty 或 B=\empty$
   笛卡尔积对并、交满足分配律，注意顺序！
   补充：形如 $<a, b>$ 这样的东西叫做序偶，两个元素按照一定次序组合。
   $<a, b>=<c, d>，\text{iff.}\space a=c 且 b=d$

势、等势、基数、可数集合、容斥定理

1. 集合内所包含元素的个数叫集合的势，势用来度量集合的规模大小；
2. 等势：两个集合的势相等。$AB$ 等势记作 $A\sim B$ 。 $AB$ 等势则这两个集合中的元素一一对应，要证明则需要在两个集合之间找一个双射的函数。无限集合可以与其子集等势，但有限集合不可能；
3. 基数是刻画任意集合大小的概念，集合 $A$ 的基数记作 $|A|$ ，有限集合的基数就是元素的个数，任意无限可数集合的基数与自然数集的基数相等；
4. 可数集合：与自然数集 $N$ 等势的集合，其基数是 $ℵ₀$ （阿列夫零），同时 $ℵ₀$ 也是一切可数集合的基数；与实数等势的集合的基数是 $ℵ₁$ ;
5. 当集合数量有限时，笛卡尔积的基数等于基数的积，即：

6. 容斥定理
   对有限集合$A$、$B$，有 $|A∪B| = |A|+|B|-|A∩B|$，可以推广至多个集合的情况

关于等势、可数集合、不可数集合

两个集合等势，就是这两个集合的势相等，就是这两个集合元素可以一一对应。

• 全体正整数集合和全体正偶数集合等势；
• 全体正整数集合和全体有理数集合等势；
• 全体正整数集合和全体实数集合不等势；
• 等势可传递。

和全体正整数集合等势的集合，称为可数无穷集合。所有可数无穷集合等势；

势比正整数集大的集合称为不可数无穷集合，其中与全体实数等势的不可数无穷集合称为“连续统(continuum)”（可以构造势大于连续统的不可数无穷集合）。所有连续统等势，任何连续统的势都比可数无穷的势要大。

“可数”：既然每一个可数无穷集合中的元素都可以对应到一个正整数，那么就可以用每一个正整数给这每一个元素编号了，也就是可以用正整数来数它们的个数了；

“不可数”：一个直线上的点集是连续统，无论我们怎么设计一个直线上的点编号的方法，我们也无法给所有的点都编号然后来数它们。