笔记内容全部基于西安电子科技大学 鱼亮 老师的 《离散数学II》课堂内容整理
博主数学水平相当一般，内容从数学的角度来看可能相当不严谨甚至存在谬误，仅供参考。
欢迎高人指点
基本概念
与半群、独异点等类似，群也是一个代数系统。
对于代数系统 <G,∗> ，若：∗ 可结合、存在幺元 e 、G 中每个元素都存在逆元，则称 <G,∗> 是一个群。G 是有限集合则该群为有限群，否则为无限群。若群中只有一个元素，则将该元素看作幺元。
简单地说，群就是：可结合、有幺元、每个元素都有逆元的代数系统。
例题：设代数系统 <I,⋅> ，其中 I 是整数集合，⋅ 定义为：对 ∀a,b∈I，有 a⋅b=a+b−2，问 <I,⋅> 是否是群？
群的性质
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群中不能有零元。
零元没有逆元，任何元素与零元运算的结果都为零元。
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群中每个元素的逆元唯一。
假设元素 a 有两个逆元 c、d ，那么就有：
c=c∗e=c∗(a∗d)=c∗a∗d=e∗d=d，因此 c=d
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设 <G,∗> 是一个群，对 a,b∈G，必存在唯一的 x∈G，使 a∗x=b。
这个性质，意味着群中的任意两个元素一定可以相互表示，x 也可以借助该性质求出来
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在群 <G,∗> 中，对 ∀a,b,c∈G，若有 a∗b=a∗c 或 b∗a=c∗a，则必有 b=c （消去律）
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群 <G,∗> 中除了幺元 e ，不可能有任何其他的等幂元（即，幺元是群中唯一的等幂元）
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群 <G,∗> 运算表中每一行、每一列都是 G 中元素的一个置换。
因为群的运算满足消去律，所以运算表中每一行、每一列都必然是群中元素的一个排列。
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在群 <G,∗> 中，对 ∀a,b∈G ， (a∗b)−1=b−1∗a−1
因为
(a∗b)∗(a∗b)−1=e(a∗b)∗(b−1∗a−1)=a∗b∗b−1∗a−1=e
所以
(a∗b)∗(a∗b)−1=(a∗b)∗(b−1∗a−1)(a∗b)−1=b−1∗a−1
总结而言，就是：
不能有零元，每个元素有且只有一个逆元，两个元素可以通过另一个元素相互表示，运算满足消去律，幺元是唯一等幂元，运算表每行每列都是群中元素的一个排列，(a∗b)−1=b−1∗a−1
阶
（任何载体有限的代数，载体的基数都称为该代数的基数）
群的阶
有限群 <G,∗> 的载体 G 的基数 ∣G∣ 就是该群的阶数。
群中元素的阶
设群 <G,∗> ，对 a∈G，若存在正整数 n 使 an=e，则称元素的阶是有限的，最小正整数 n 就是元素 a 的阶。若不存在这样的 n ，则称元素 a 有无限阶。
简单地说，元素的阶就是使元素的幂次等于幺元 e 的最小正整数。
群中元素的阶 n 也可以理解为群的【周期】， 是 an=e 的最小正整数，到这里开始，指数再继续增长就会导致值开始重新循环
定理
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若 <G,∗> 的元素 a 有一个有限阶 n，则 ak=e iff. k 是 n 的倍数（类似于周期，每当 k 是 n 的倍数时都会使 ak=e）
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群中任何一个元素与其逆元有相同的阶
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有限群 <G,∗> 中任意一个元素的阶至多是 ∣G∣ 。即【有限群中元素的阶小于等于群的阶】
特殊的群
对于群 <G,∗> ，当其具有一些性质时，会成为特殊的群
阿贝尔群（交换群）
群内的 ∗ 运算可交换
循环群——每个元素都能用同一个元素的幂次表示
循环群中所有的元素 a∈G 都可以表示为 gi,i∈I 的形式，即每个元素均可用同一个数的幂次表示，这里的 g 被称为 “生成元” 。（一个群可能有多个生成元）
循环群和循环独异点的区别在于，前者所有的元素都有逆元，因此指数为整数，可正可负。但循环独异点并不要求所有元素都有逆元，因此指数为自然数
例：
判断以下群是否为循环群
- <I,+> 是无限循环群，0 是幺元，1、−1 是生成元（用 1 表示负整数，如：1−2=(−1)2=−1−1=−2， −1 表示正整数的方法类似）
- <N4,+4> 是有限循环群，[0] 是幺元，[1]、[3] 是生成元
循环群的性质
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定理：任何一个循环群，一定是一个阿贝尔群
所有元素都能写成生成元的指数形式，而指数的运算其实是指数的加法运算，而加法可交换，所以循环群运算可交换：设任意两个元素分别可以表示为 gi 和 gj （ g 为生成元），则 gi∗gj=gi+j=gj+i=gj∗gi
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定理：设 <G,∗> 是以 g∈G 为生成元的有限循环群，∣G∣=n，则有：
(a) n 是使 gn=e 的最小正整数
(b) G={g1,g2,...gn=e} （即循环群载体中各个元素互不相同）
