1. 两样本假设检验：独立样本

中心极限定理指出，样本均值的分布近似服从正态分布。

假定样本均值的分布服从正态分布，那么两个正态分布的样本均值的差仍然服从正态分布。

样本均值差的分布的方差： ${\sigma}{^2_{\overline{X}_1-\overline{X}_2}} = \frac{{\sigma}{^2_1}}{n_1}+\frac{{\sigma}{^2_2}}{n_2}$

两样本均值差的检验—— ${\sigma}$已知：$z = \frac{{\overline{X}_1-\overline{X}_2}}{\sqrt{\frac{{\sigma}{^2_1}}{n_1}+\frac{{\sigma}{^2_2}}{n_2}}}$

应用上式必要的假设条件：

• 两个样本服从正态分布
• 两个样本必须是不相关的，即必须是独立的
• 两个总体的标准差必须是已知的

2. 总体均值的比较：总体标准差未知（合并t检验）

2.1 总体标准差相等

合并方差：$s{^2_p} = \frac{(n_1-1)s{^2_1}+(n_2-1)s{^2_2}}{n_1+n_2-2}$

式中，$s{^2_1}$ 是第一个样本的方差，$s{^2_2}$ 是第二个样本的方差。

在本质上，我们计算的是两个样本标准差的一个加权平均数，并且用这个加权平均数的值作为未知总体标准差的一个估计值。权重是每个样本的自由度。

两样本的均值检验—— ${\sigma}$未知：$t = \frac{{\overline{X}_1-\overline{X}_2}}{\sqrt{s{^2_p}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$

检验的自由度是被抽取的样本观测值的总数减去样本的个数。因为有两个样本，所以自由度为 $n_1+n_2-2$

应用上式必要的假设条件：

• 抽样总体服从正态分布
• 样本总体是独立的
• 两个总体的标准差相等

2.2 总体标准差不等

如果总体标准差相等的假定不满足，那么利用与两样本均值差的检验—— ${\sigma}$已知：$z = \frac{{\overline{X}_1-\overline{X}_2}}{\sqrt{\frac{{\sigma}{^2_1}}{n_1}+\frac{{\sigma}{^2_2}}{n_2}}}$ 非常相似的统计量。分别用样本标准差 $s_1$ 和 $s_1$ 替代总体标准差。另外，用一个相当复杂的近似公式对自由度进行调整。调整的作用是减少检验的自由度，于是为了拒绝零假设，将需要一个较大的检验统计量的值。

方差不等时，均值没有差异的检验统计量：$t = \frac{{\overline{X}_1-\overline{X}_2}}{\sqrt{\frac{s{^2_1}}{n_1}+\frac{s{^2_2}}{n_2}}}$

方差不等检验的自由度：$df = \frac{{[(s{^2_1}/n_1)+(s{^2_2}/n_2)]}^2}{\frac{(s{^2_1}/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s{^2_2}/n_2)^2}{n_2-1}}$

3. 两样本假设检验：相依样本

成对t检验： $t = \frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n}}$

自由度是n-1

其中，$\overline{d}$ 是成对或相关观测值之差的均值，$s_d$ 是成对或相关观测值之差的标准差，n是成对观测值的个数。