离散数学笔记：群(1)_半群和独异点

半群

半群，是二元运算可结合的代数系统

定义：一个代数系统 $<S, *>$，$S$ 非空，$*$ 是二元运算。若运算 $*$ 可结合（即对 $\forall x,y,z\in S，有 (x*y)*z=x*(y*z)$），则称 $<S, *>$ 为半群

例：设集合 $S_k=\{x|x\in I,x\geqslant k \}$，其中 $I$ 是整数集，$k\in I$ 且 $k\geqslant 1$，$+$ 为普通加法。证明：$<S_k, +>$ 是一个半群

• 思路：只要题目中给出集合及定义在其上的运算，要构成一个代数系统，都需要首先满足封闭性。在此基础上，才能讨论是否满足其他的特殊性质。本题说明 + 运算在 $S_k$ 上封闭、可结合即可

例：$I^+$ 是正整数集合，$R$ 是实数集合，$R^+、R^-$ 分别为正、负实数集合。问：$<I^+, ->、<R^+, ->、<R^+, \cdot>、<R^-, \div>$ 都是半群吗？为什么？

• 思路：验证封闭性即可将 1、2、4 排除，再说明 3 可结合即可

定理：设 $<S, *>$ 是半群，$T\subseteq S$ 且在 $*$ 上封闭。则 $<T, *>$ 是 $<S, *>$ 的子代数，$<T, *>$ 也是一个半群，且称为 $<S, *>$ 的子半群

结合律是可以继承的：运算在大的集合上可结合，则在小的集合上也可继承。
因此，半群的子代数也是半群

独异点（aka. 幺半群，Monoid Group）

独异点，是含有幺元的半群。半群，是二元运算可结合的代数系统。

例：判断以下代数系统是否是独异点

1. $<I^+, +>$ 答案：是半群，但不是独异点，因为不含幺元 0
2. $<N, +>$ 答案：是半群且含幺元 0 ，因此是独异点

例：设 $A=\{0, 1, 2, 3\}（也可记作N_4,N_k 表示 0\sim (k-1)个元素）,\space +_4、\times_4$ 分别是模4加、模4乘，运算表如下面的表格所示。

即对 $\forall a, b \in A$，有：

问：(a) $<A,+_4>$ 和 $<A, \times_4>$ 是独异点吗？为什么？
(b) $A$ 中的元素在 $+_4$ 、$\times_4$ 上有逆元吗？

答案：a：是。运算在载体上封闭，是代数系统；运算都可结合，是半群；都含有幺元，是独异点；
b 思路：（需要逐个找出来。两个元素互为逆元，一起运算的结果等于幺元）

子独异点

设 $<S, *, e>$ 是一个独异点，$T\subseteq S$ 且 $*$ 在 $T$ 上封闭（即新载体是原载体的子集），$e\in T$（幺元还在）。则 $<T, *, e>$ 是 $<S, *, e>$ 的子代数， $<T, *, e>$ 也是一个独异点，称为 $<S, *, e>$ 的子独异点。

上面的要求，拆开了写出来一共有三条：

1. 新代数是原代数的子代数；
2. 新代数本身是独异点；
3. 在相同的运算下，新代数的幺元和原代数的幺元相同。

例题：设 $N_{10}=\{0,1,2,...,9\}$ ， $\times_{10}$ 为模10乘，则 $<N_{10},\times_{10}>$ 是一个独异点，问题如下：
（a）写出 $\times_{10}$ 的运算表
（b）取 $N_{10}$ 的一个子集 $A=\{0,2,4,6,8\}$ ，证明 $<A,\times_{10}>$ 是一个独异点，但不是 $<N_{10},\times_{10}>$ 的子独异点
（c）构造 $<N_{10}, \times_{10}>$ 的一个含 5 个元素的子独异点

交换半群（独异点）（仅作了解）

在半群（独异点）中，若二元运算可交换，则称该半群（独异点）为交换半群（独异点） 。
定理：设 $<S, *>$ 是一个半群，若 S 是有限集，则必存在 $a\in S$，使得 $a*a=a$

半群和独异点的性质——有限半群一定存在等幂元

定理：设 $<S, *>$ 是一个半群，若 $S$ 是一个有限集合，则必存在 $a\in S$，使 $a*a=a$
即，若半群的载体是有限集，则必存在等幂元（自己和自己运算的结果仍是其自身）。思考该问题要从“有限”入手：由抽屉原理（要将 n+1 个球放入 n 个抽屉，至少有一个抽屉要装俩球）
（具体证明略，随缘补。。）

思考：设 $<S, *>$ 是一个独异点，$*$ 的运算表中可能出现完全相同的两行或两列吗？
——不可能。设 S 中关于 $*$ 运算的幺元为 e
取 $\forall a,b\in S$，若 $a \neq b$ ，则有：
$e*a \neq e*b$，即任意两列均不同（若相同，则载体中含相同元素，不满足载体的集合定义）
$a*e\neq b*e$，即任意两行均不同（原因同上）
故，* 运算的运算表中，任意两行/列均不相同

循环独异点

设 $<S, *, e>$ 是一个独异点，若 $\exists g\in S$ ，对 $S$ 中的每个元素 $a$ ，都有对应的 $k\in N$ 使 $a=g^k$ (任何元素的零次幂等于幺元 e )，则称此独异点为循环独异点，$g$ 称为此循环独异点的生成元。

循环独异点的所有元素都可以用一个元素的指数形式生成。
这种指数只能为非负整数而不能为负。因为负指数意味着求逆元（如 $g^{-3}=(g^3)^{-1}$，其是 $g^3$ 的逆元）
而独异点并没有【每个元素都要有逆元】的要求，也就是说不一定每个元素都有逆元，所以循环独异点中的元素不应有负指数。
注意：这里的幂次运算并不局限于“乘法”，该运算可以是任意的。

例：判断下面的代数系统是否为循环独异点，若是，请指出生成元
（a）：$<N, +, 0>$
（b）：$<\{a,b,c,d\},*>$ ，运算表如下
a: 是。生成元为 1
b: 是。由表可知，幺元为 a。$c^0=a, c^1=c, c^2=c*c=b; c^3=b*c=d$。因此 c 为生成元；
又：$d^0=a,d^1=d,d^2=b,d^3=c$ ，因此 d 也为生成元。
综上，生成元为 c 和 d