复习：关于映射
映射中，每个象都必然有一个原象
- 满射：任一象都能找到一个原象。一个象可以有多个原象（即，可以多对一，且象集中不能有剩余的元素）；
- 单射：一个象至多只有一个原象。（若象相同则原象一定相同，若象不同则原象一定不同。象集、原象集都可以有剩下的元素）；
- 双射：单射且满射。原象集、象集中的元素一一对应。
同态映射
同态映射也是一种映射，它是从代数到代数的映射——同态映射建立了代数到代数之间的映射关系。
在这样的关系中，自然也包括了两个代数中的载体间、运算间、常元间的映射关系
对于代数 A=<S,∗,Δ,k> 和 A′=<S′,∗′,Δ′,k′>，若存在 f：S→S′ 使 ∀a,b∈S，均满足：
- f(a∗b)=f(a)∗′f(b)
- f(Δa)=Δ′f(a)
- f(k)=k′
则称： f 为 A 到 A′ 的一个同态映射。A 同态于 A′ 记作 A～A′
上面这三个条件，简单地说就是【先运算后映射，等于先映射后运算】：f(a∗b) 是对运算 a∗b 的值进行 f 映射，而 f(a)∗′f(b) 是对 a、b 分别映射后的值 f(a)、f(b) 进行 ∗′ 运算 。
需要注意的是，映射前元素使用的运算是 A 中的 ∗、Δ，而映射后元素使用的运算是 A′ 中的 ∗′ 和 Δ′
同态象
同态象也是一个代数系统，其是以原载体中所有元素的象的集合为载体的代数系统。该代数和原象代数满足前文中所描述的同态映射的关系
若 f 是从 A=<S,∗,Δ,k> 到 A′=<S′,∗′,Δ′,k′> 的同态映射，则称 <f(S),∗′,Δ′,k′> 为 A 在 f 下的同态象。
其中f(S)={x∣x=f(a),a∈S}
同态象 <f(S),∗′,Δ′,k′> ，是代数系统 A′=<S′,∗′,Δ′,k′> 的子代数（该条是一个定理，下面会有证明）
例
设 <I,⋅> ，I 是整数集合，⋅ 是整数集合上的普通乘法。若只关心运算的结果是正、负还是 0 ，则可以将结果特征用代数系统 <B,⊙> 表示：其中，B=+,−,0，⊙ 为 B 上的二元运算，运算表如下图。请构造从 <I,⋅> 到 <B,⊙> 的同态映射（灰色虚线框内为题解及注释 / 解析）
这道题给了我们一个启示：同态，可以将复杂的代数系统简化，从而实现复杂问题的简化 —— 本题就是将无限集合上的运算映射到只有三个元素的载体的运算上。
这里的关键在于怎样构造一个符合需要的映射
同态映射的分类
在开始之前，我们再来复习一下三种映射
映射中，每个象都必然有一个原象
- 满射：任一象都能找到一个原象。一个象可以有多个原象（即，可以多对一，且象集中不能有剩余的元素）；
- 单射：一个象至多只有一个原象。（若象相同则原象一定相同，若象不同则原象一定不同。象集、原象集都可以有剩下的元素）；
- 双射：单设且满射。原象集、象集中的元素一一对应。
设 f 是从 A=<S,∗,Δ,k> 到 A′=<S′,∗′,Δ′,k′> 的一个同态映射。根据同态映射的映射种类不同，同态映射可以分成下面这几种类型：
- 单一同态： f 是单射；
- 满同态： f 是满射。此情况下，A′ 就是满同态 f 的一个同态象；
- 同构： f 是双射，则 A 同态于 A′，记作 A≅A′；
- 自同态： A=A′ ，则 f 是 A 上的自同态；
- 自同构： A=A′ 且 f 是双射
例：
- N 为自然数集合，+ 是 N 上的普通加法。设 Nk=0,1,,2...,k−1 ，+k 是 N 上的模 k 加运算
设 f:N→Nk 定义为：f(x)=x(mod k)
请证明：f 是从 <N,+,0> 到 <Nk,+k,0> 的一个满同态映射（灰色虚线框内为题解及注释 / 解析）
- 设 A=a，b，c，d , A 上的 ☆ 运算如下表 a。B=0，1，2，3 ，B 上的 ∗ 运算如下表 b。请构造从 <A,☆> 到 <B,∗> 的同构映射（灰色虚线框内为题解及注释 / 解析，其余为题干）
定理
设 f 是从 A=<S,∗,Δ,k> 到 A′=<S′,∗′,Δ′,k′> 的一个同态映射，则 A 的同态象 <f(S),∗′,Δ′,k′> 是 A′ 的子代数
