离散数学笔记：代数1_代数结构和子代数

笔记内容全部基于西安电子科技大学 鱼亮 老师的 《离散数学II》课堂内容整理

博主数学水平相当一般，内容从数学的角度来看可能相当不严谨甚至存在谬误，仅供参考。

欢迎高人指点

代数相关的基本的概念：

• 代数系统由三部分组成：载体（非空集合）、定义在载体上的运算、代数常元

• 代数运算：从 $A$ 到 $B$ 的 $n$ 元代数运算，记作： $A^n \stackrel{f}{\longrightarrow}B$

  这里的 $n$ 元中的 $n$ 称为运算的阶。$n$ 元运算到底是什么呢？举例来说，二元运算是：由两个元素形成第三个元素的一种规则

• 运算的封闭性：若对 $A^n \stackrel{f}{\longrightarrow}B$ ，有 $B \subseteq A$ ，则 $n$ 元运算在 $A$ 上封闭

• 运算表：一张可以描述二元运算的二维表，例子如下：

运算性质

交换律

如加法交换律的那种 $a+b = b+a$ . 运算表中元素沿主对角线对称
例：证明：若对任意有理数 $a、b$，有 $a☆b=a+b-a·b$，证明 ☆ 可交换

结合律

对任意 $x、y、z ∈ A$，有 $x*(y*z) = (x*y)*z$
例：证明：若对任意 $a、b ∈ A$，有 $a*b=b$，证明 * 可结合

分配律

吸收律

等幂律：$x*x = x$

符合等幂律的运算，其运算表对角线上的元素与行首、列首相同。
如果一个运算满足等幂律，则需要所有的元素都是等幂元

消去律：

若 $A$ 中所有元素可消去，则运算 $*$ 满足消去律（即，若 $a$ 是任意的，则运算满足消去律）
满足消去律的运算，其运算表的同一行 / 列中，不能有相同元素出现。如果有，就意味着表头存在相同元素——而这不满足集合的互异性。
若映射 $f$ 为 $A^2 \stackrel{f}{\longrightarrow}A$ （$A$ 有限且运算封闭），则运算表中一行的元素是 $A$ 的一个排列。

代数常元

代数常元中的幺元、零元、逆元都可以借助乘法运算来理解，下面会分别说明。

幺元（一般记作 $e$ ）

• $e_l*x = x*e_r = x$
  • $e_l$：左幺元；$e_r$：右幺元
  • 载体上任何元素与幺元运算后的结果与其自身相同：幺元相当于乘法中的 1，1 与除 0 之外的任何数 $x$ 的运算结果均为 $x$
  • 运算表中幺元所对应行 / 列中元素值与列首 / 行首相同
  • 幺元是唯一的，$e_l = e_r = e$。证明： 设存在幺元 $e、e' ，∵ e = e*e' = e'$ ，∴ 幺元唯一

零元（一般记作 $θ$ ）

• $\theta_l*x = x*\theta_r = \theta$
  • 载体上任何元素与零元运算后的结果均为零元：相当于乘法中的 0 ，0 与任何数 $x$ 运算后的结果均为 0
  • 运算表中零元 $θ$ 所对应行/列值均为 $θ$
  • 零元唯一。证明： 设零元 $θ 、θ'，θ = θ*θ' = θ' ∴ θ = θ'$ ∴ 零元唯一

逆元（ $x$ 的逆元记作 $x^{-1}$ ）

• $x*y$ = $e$ ：$x$ 是 $y$ 的左逆元，$y$ 是 $x$ 的右逆元。求逆元需先确定幺元 $e$

• 若 $x*y = y*x = e$，则 $x、y$ 互为逆元。相当于乘法中的：除 $0$ 外的任何数 $x$ 与其倒数 $1/x$ 运算后的结果为幺元 1，这里的 $1/x$ 就是 $x$ 的逆元， $x$ 也是 $1/x$ 的逆元

• 运算表中，互为逆元的两个元素对应的结果为 $e$

• 定理：在运算 $<A, *>$ 中，$e$ 是 $*$ 的幺元。若 $*$ 可结合，则对元素 $x$ 有【 $x 的左逆元 l = 右逆元 r$】，且 $x$ 的逆元唯一。

  证明：

  $$\begin{aligned} l & = l*e\\ & =l*(x*r)\\ & =l*x*r\\ & =e*r\\ & =r\\ 即 &\space l=r.\\ 设&有两逆元 b、c\\ 则&\space x*b = e,\space x*c = e\\ b&=b*e\\ &=b*(x*c)\\ &=b*x*c\\ &=e*c\\ &=c\\ \therefore &\space b=c\\ \therefore &\space 逆元唯一 \end{aligned}$$

等幂元 $\exists x \in A, \space x*x=x$

等幂元的幂与其自身相等，比如乘法中的 0 和 1。运算表中，自身和自身的运算结果还是自己本身

再回头看上面的这些内容，会发现有些性质或特殊元素是【有左右之分】的：分配吸收消去律、幺元零元和逆元

例题

设 $I$ 是整数集合，函数 $g$：$I \times I \rightarrow I. \space g(x, y)=x*y=x+y-x\cdot y$
(a). 证明：$*$ 可交换、可结合
(b). 求 $*$ 运算的幺元，并指出每个元素的逆元

一些常用的证明思路：

• 证明集合可数：证明该集合与自然数集建立一一对应关系，即建立一个该集合映射到自然数集的函数

• 证明集合是有限集：证明该集合与自然数的前 $n$ 项一一映射

• 证明集合是无限集：证明该集合与自身的子集一一映射

• 证明集合 $A'$ 是另一集合 $A$ 的子集：$\forall x \in A', x\in A$

• 证明运算封闭：从载体中任取元素进行运算后得到的结果仍属于载体集合

  即：$\left \{\begin{matrix} \forall a, b \in A\\a*b \in A\\\Delta a \in A\end{matrix}\right.$

• 证明映射是单射：

  单射：一个象至多只有一个原象。（若象相同则原象一定相同，若象不同则原象一定不同。象集、原象集都可以有剩下的元素）；

  • 方法一：对于 $\forall x_1、x_2\in S, 有 x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$
  • 方法二（相对简单）：$对于\space \forall x_1、x_2\in S, 有\space f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$

子代数

设 $<A, *, Δ, k>$ 是一个代数系统，$*$ 和 $Δ$ 分别是载体 $A$ 上的二元运算和一元运算，$k$ 是代数常元，若满足

1. $A' ∈ A$
2. $*$ 和 $Δ$ 运算在 $A'$ 上封闭
3. $k∈A'$

则称 $<A', *, Δ, k>$ 是 $<A, *, Δ, k>$ 的子代数

说白了就是：要求新载体 $A'$ 是原载体 $A$ 的子集，运算仍然封闭，且原有的常元仍在 $A'$ 中。

有两种子代数：平凡子代数和非平凡子代数（又称为真子代数）。前者要求载体的所有元素都是常元，后者则是除了平凡子代数之外的所有其他子代数

例题

1. 已知 $I$ 是整数集，$I_e$ 是偶数集合，$I_o$ 是奇数集合，“$+$” 是普通加法。则 $<I_e, +>、<I_o, +>$ 是 $<I, +>$ 的子代数吗？

   答案：前者是，因为运算封闭（偶数的和仍为偶数）；后者不是，因运算不封闭（奇数的和为偶数）

2. 已知 $I$ 是整数集，$I^+$ 是正整数集合，“ $+$ ” 是整数集合上的普通加法。则 $<I^+, +>$ 是 $<I,+>$ 的子代数吗？

   答案：不是。因 $I^+$ 不含幺元 0