一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
示例 1:
输入: m = 3, n = 2输出: 3解释:从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。1\. 向右 -> 向右 -> 向下2\. 向右 -> 向下 -> 向右3\. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3输出: 28
动态规划方案：
注意这里机器人只能向下和向右移动，不能往其他方向移动，我们用dp[i][j]表示到坐标(i，j)这个格内有多少条不同的路径，所以最终的答案就是求dp[m-1][n-1]。
因为只能从上面或左边走过来，所以递推公式是：
- dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。
- dp[i-1][j] 表示的是从上面走过来的路径条数。
- dp[i][j-1] 表示的是从左边走过来的路径条数。
那么边界条件是什么呢，如果Finish在第一行的任何位置都只有一条路径，同理Finish在第一列的任何位置也都只有一条路径，所以边界条件是第一行和第一列都是1。我们已经找到了递推公式，又找到了边界条件。
/**
* 递推公式： d[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-1]
* @param m
* @param n
* @return
*/
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
for (int i=0; i<m; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for (int j=0; j<n; j++){
dp[0][j] = 1;
}
for (int i=1; i<m; i++){
for (int j=1; j<n; j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
动态规划方案优化：
我们看上面二维数组的递推公式，当前坐标的值只和左边与上面的值有关，和其他的无关，这样二维数组造成大量的空间浪费，所以我们可以把它改为一维数组。
/** * 动态规划方案优化 * @param m * @param n * @return */public int uniquePathsOpt(int m, int n) { int[] dp = new int[m]; Arrays.fill(dp, 1); for (int j = 1; j < n; j++) { for (int i = 1; i < m; i++) { dp[i] += dp[i - 1]; } } return dp[m - 1];}
