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标量对矩阵的求导

基础推导

定义

标量f对矩阵X的导数，定义为 ![](juejin.cn/equation?te… f}{\partial X} =[\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}])，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。

将矩阵导数与微分建立联系：

![](https://juejin.cn/equation?tex=df = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^n{\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}}dX_{ij}=tr(\frac{{\partial f}}{\partial X}^TdX))

上面第二个等式，用到了矩阵的迹的性质。因为两个向量相乘，A中第i个元素乘以B中第i个元素的积，全部在形成的矩阵对角线上,即

![](https://juejin.cn/equation?tex=tr(A^TB)=\sum_{i,j}{A_{ij}B_{ij}})

这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分 $df$ 是导数![](juejin.cn/equation?te… f}{\partial X})(mxn)与微分矩阵 $dX$ (mxn)的內积。（这里的m，n是矩阵的大小）

求导公式

运用这些法则，可以建立常用的矩阵微分的运算法则：

加减法

![](https://juejin.cn/equation?tex=d(X\pm Y)=dX\pm dY)

矩阵乘法

![](https://juejin.cn/equation?tex=d(XY)=d(X)Y+XdY)

转置

![](https://juejin.cn/equation?tex=d(X^T)=(dX)^T)

![](https://juejin.cn/equation?tex=dtr(X)=tr(dX))

![](https://juejin.cn/equation?tex=dX^{-1}=-X^{-1}dXX^{-1})

行列式

d|X|=tr(X# dX)

其中X#表示X矩阵的伴随矩阵，在X可逆的时候，可以写作：

![](https://juejin.cn/equation?tex=d|X|=|X|tr(X^{-1}dX))

逐元素乘法

![](https://juejin.cn/equation?tex=d(X\odot Y)=dX\odot Y+X\odot dY)

其中， $\odot$ 表示尺寸相同的矩阵X，Y逐元素相乘。

逐元素函数

![](https://juejin.cn/equation?tex=d\sigma(X)=\sigma'(X)\odot dX,\sigma(X)=[\sigma(X_{ij})])

这是逐元素标量函数运算， $\sigma(X)=[\sigma(X_{ij})]$ 是逐元素求导数。

![](https://juejin.cn/equation?tex=X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{bmatrix} , dsin(X)=\begin{bmatrix} cosx_{11}dx_{11} & cosx_{12}dx_{12} \\ cosx_{21}dx_{21} & cosx_{22}dx_{22} \end{bmatrix} =cos(X)\odot dX)

矩阵迹的运算

利用矩阵导数与微分的联系![](juejin.cn/equation?te… f}}{\partial X}^TdX))求出左侧的微分 $df$ 后，该如何写成右侧的形式并得到导数？这需要一些迹技巧：

标量套上迹：![](https://juejin.cn/equation?tex=a=tr(a))
转置：![](https://juejin.cn/equation?tex=tr(A^T)=tr(A))
线性：![](https://juejin.cn/equation?tex=tr(A\pm B)=tr(A)\pm tr(B))
矩阵乘法交换：![](https://juejin.cn/equation?tex=tr(AB)=tr(BA))，其中![](https://juejin.cn/equation?tex=A)与![](https://juejin.cn/equation?tex=B^T)的尺寸相同。两侧都等于![](https://juejin.cn/equation?tex=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji})
矩阵乘法/逐元素乘法交换：![](https://juejin.cn/equation?tex=tr(A^T(B\odot C))=tr((A\odot B)^TC))，其中A，B，C尺寸相同，两侧都等于![](https://juejin.cn/equation?tex=\sum_{i,j}{A_{ij}B_{ij}}C_{ij})

结论

若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，对照导数与微分的联系![](juejin.cn/equation?te… f}}{\partial X}^TdX))，即能得到导数。

复合函数

假设已求得![](juejin.cn/equation?te… f}}{\partial Y})，而Y是X的函数，如何求![](juejin.cn/equation?te… f}{\partial X})？

![](https://juejin.cn/equation?tex=df=tr(\frac{{\partial f}}{\partial Y}^TdY))
再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到![](https://juejin.cn/equation?tex=\frac{\partial f}{\partial X})。

例子

$Y=AXB$

![](https://juejin.cn/equation?tex=df= tr(\frac{{\partial f}}{\partial Y}^TdY)=tr(\frac{{\partial f}}{\partial Y}^TAdXB)=tr(B\frac{{\partial f}}{\partial Y}^TAdX)=tr((A^T\frac{{\partial f}}{\partial Y}B^T)^TdX))

上面的式子与![](juejin.cn/equation?te… f}}{\partial X}^TdX))对比，即可得到![](juejin.cn/equation?te… f}{\partial X}=A^T \frac{\partial f}{\partial Y }B^T)。

注意， $dY=(dA)XB AdXB AXdB=AdXB$ ，由于A,B是常量，所以 $dA=0,dB=0$ ，以及我们使用矩阵乘法交换的迹技巧交换了![](juejin.cn/equation?te… f}}{\partial Y}^TAdX)与 $B$ 。

例题

$f=a^TXb$ ，求![](juejin.cn/equation?te… f}{\partial X})。其中 $a$ 是![](juejin.cn/equation?te… 1)列向量， $X$ 是![](juejin.cn/equation?te… \times n)矩阵， $b$ 是![](juejin.cn/equation?te… \times 1)列向量， $f$ 是标量。