前缀和与差分

前缀和

1.什么是前缀和

这里只介绍一维前缀和与二维前缀和

即假设有一数列$\{ a_n\}$ ，那么前缀和就可以理解为 $a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_i$。而前缀和数组即为存储以$a_1$为起点，$a_i$为终点的前缀和的数组。

举个例子：

若

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + a_2$

$b_3 = a_1 + a_2 + a_3$

$...$

$b_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$

即可得

$b_1 = a_1$

$b_2 = b_1 + a_2$

$b_3 = b_2+ a_3$

$...$

$b_n = b_{n-1}+ a_n$

则$\{b_n\}$为$\{a_n\}$的前缀和数组。

2.为什么需要前缀和？前缀和的作用是什么?

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。何以见得？

举个例子：

假设我们需要计算 $a_1$~$a_n$的和，通常我们的实现方式是：用一个for循环来求。那如果我需求换了，我要算$a_7$ ~ $a_n$的和呢？那还是需要另一个for循环来求，那需求又换了，我要计算$a_4$ ~ $a_{n-4}$呢？如果有n个这样的需求，那我们就要写n个循环，时间复杂度就变高了。

结论：

所以我们通过前缀和，一次for循环把$a_1$ ~ $a_i$ 的和都算出来存到一个数组b中。

若我们需要求$a_l$ ~ $a_r$ 的和，只需要利用$b[r] - b[l-1]$ 即可得到$a_l$ ~ $a_r$的和，这个计算操作的时间复杂度为$O(1)$的。

证明：

$b[r] = a[1] + a[2] + ... + a[l-1] + a[l] + a[l+1] + ... + a[r]$

$b[l-1] = a[1] + a[2] + ... + a[l-1]$

所以 $b[r] - b[l-1] = a[l] + ... + a[r]$

3.二维前缀和

之前讲的都是一维的前缀和，你可能没有感觉到提升了多大的效率，到了二维数组，你可以自己脑补一下不用前缀和处理有多慢了。

二维前缀和相对难理解一点点，重要的是搞清楚前缀和数组存的是什么。

若有二维数组$a_{nm}$如下

$\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14}\\a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24}\\a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34}\\a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44}\end{matrix} \right]$

那么$a_{nm}$的前缀和数组表示的是什么意思呢？记$b_{nm}$为$a_{nm}$的前缀和数组。

则$b[i][j]$表示的是以$a[1][1]$为左上角，以$a[i][j]$为右下角的矩形，矩形内所有元素的和。

举个例子

$b[2][3]$表示的就是下列所有元素的和

$\left[\begin{matrix}a_{11} &a_{12} &a_{13}\\a_{21} &a_{22} &a_{23} \end{matrix}\right]$

类似的

$b[4][2]$表示的就是下列所有元素的和

$\left[\begin{matrix} a_{11} &a_{12} \\a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\\ a_{41} &a_{42}\end{matrix}\right]$

结论

若我们要求$a[x_1][y_1]$为左上角，$a[x_2][y_2]$为右下角的矩形内所有元素的和，

即$b[x_2][y_2] - b[x_2][y_1-1] - b[x_1-1][y_2] + b[x_1-1][y_1-1]。$

证明就自己画个图就好了，还是比较简单的。记忆起来也比较容易，下标为1的都减一。

差分

1.什么是差分

可以理解为前缀和的逆运算。怎么理解？直接看个例子吧。

设有一差分数组$\{a_n\}$ ，其前缀和数组为$\{b_n\}$

则差分数组

$a_1 = b_1$

$a_2 = b_2 - b_1$

$a_3 = b_3 - b_2$

$...$

$a_n = b_n - b_{n-1}$

而前缀和数组

$b_1 = a_1$

$b_2 = a_1 + a_2$

$b_3 = a_1 + a_2 + a_3$

$...$

$b_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$

这下就能理解差分了吧。一定要弄明白前缀和再来看差分。

2.差分的作用

用于维护多次对序列的一个区间加上一个数，比如我要在$a_1$~$a_{n-5}$ 这一段上每一个元素加上$c$，不要再想着用多个循环了噢，类似于前缀和，多次循环过后时间复杂度会变高。

3.差分的使用

对于一维的差分而言，想要在某段区间$\{l,r\}$加上一个数$c$，只需要

$a[l] += c$

$a[r+1] -= c$

即可。

证明：我们一定要理解，差分数组加上一个数后，对前缀和数组的影响！

假设$a_1$加上一个$c$，则前缀和数组$\{b_n\}$会变成如下

$b_1 = a_1 + c$

$b_2 = a_1 + c + a_2$

$b_3 = a_1 + c + a_2 + a_3$

$...$

$b_n = a_1 + c + a_2 + ... + a_n$

可以发现，$b_1$ ~ $b_n$都加上溜了一个$c$，那如果此时 $a_2$ 减去一个$c$呢？

$b_1 = a_1 + c$

$b_2 = a_1 + c + a_2 - c = a_1 + a_2$

$b_3 = a_1 + c + a_2 - c + a_3 = a_1 + a_2 + a_3$

$...$

$b_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$

最后的结果就只有 $b_1$ 加了 $c$ 而已。更多的例子可以由读者自行测试加深印象。

所以，若 $a_i$ 加了一个数 $c$ ，那么对应的前缀和数组中 $b_i$ 以及它后面所有的数都会加上 $c$，同理，若$a_j$ 减去一个数 $c$ ，那么对应的前缀和数组中 $b_j$ 以及它后面所有的数都会减去 $c$ 。

4.二维差分

有了一维差分的基础，我们来看看二维差分。首先一定要记住二维前缀和的含义，这个对理解二维差分很关键。

如下，有一差分数组 $\{a_{44}\}$ ，它对应的前缀和数组为 $\{b_{44}\}$，即

$\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14}\\a_{21} &a_{22} &a_{23} &a_{24}\\a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34}\\a_{41} &a_{42} &a_{43} &a_{44}\end{matrix} \right]$ 和 $\left[ \begin{matrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} &b_{14}\\b_{21} &b_{22} &b_{23} &b_{24}\\b_{31} &b_{32} &b_{33} &b_{34}\\b_{41} &b_{42} &b_{43} &b_{44}\end{matrix} \right]$

若此时 $a_{22}$ 加上一个数 $c$ ，那么前缀和数组会变成什么样呢？答案如下

$\left[ \begin{matrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} &b_{14}\\b_{21} &b_{22} + c &b_{23} + c &b_{24} + c\\b_{31} &b_{32} + c &b_{33} + c &b_{34} + c\\b_{41} &b_{42} + c &b_{43} + c &b_{44} + c\end{matrix} \right]$

那继续 $a_{24}$ 减去一个数 $c$，则

$\left[ \begin{matrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} &b_{14}\\b_{21} &b_{22} + c &b_{23} + c &b_{24} \\b_{31} &b_{32} + c &b_{33} + c &b_{34}\\b_{41} &b_{42} + c &b_{43} + c &b_{44}\end{matrix} \right]$

继续 $a_{42}$ 减去一个数 $c$，则

$\left[ \begin{matrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} &b_{14}\\b_{21} &b_{22} + c &b_{23} + c &b_{24} \\b_{31} &b_{32} + c &b_{33} + c &b_{34}\\b_{41} &b_{42} &b_{43} &b_{44} - c\end{matrix} \right]$

最后 $a_{44}$ 加上一个数 $c$，即得

$\left[ \begin{matrix} b_{11} &b_{12} &b_{13} &b_{14}\\b_{21} &b_{22} + c &b_{23} + c &b_{24} \\b_{31} &b_{32} + c &b_{33} + c &b_{34}\\b_{41} &b_{42} &b_{43} &b_{44}\end{matrix} \right]$

而差分数组此时为

$\left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &a_{14}\\a_{21} &a_{22} + c &a_{23} &a_{24} - c\\a_{31} &a_{32} &a_{33} &a_{34}\\a_{41} &a_{42} - c &a_{43} &a_{44} + c\end{matrix} \right]$

如此我们可以看出，要想给以 $a_{x_1y_1}$ 为左上角，以 $a_{x_2y_2}$ 为右下角的小矩形中所有元素加上一个数 $c$，则需要

$a[x_1][y_1] += c$

$a[x_1][y_2+1] -= c$

$a[x_2+1][y_1] -= c$

$a[x_2+1][y_2+1] += c$

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