Acwing.787.归并排序

归并排序的思路其实非常简单，就是把一个待排序的数组从中间进行拆分，一直到元素个数为1，然后进行两两合并，保证合并后的数组为有序数组。其本质思想就是分治，将大问题分成小问题，小问题解决了，大问题也就解决了。

具体的流程如下图所示：

在合并的时候，还有一个小技巧：

首先申请一个临时数组，然后使用两个游标i和j，分别指向左数组和右数组的第一个元素。如果array[i] >= array[j]，则将array[i]放入临时数组，i++；否则，将array[j]放入临时数组，j++。接下来，将左数组或者右数组中剩余的元素放入临时数组中。最后将临时数组中的元素拷贝到原数组即可。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;

int arr[N], n;

void getAns(int arr[], int left, int right) {
    if(left >= right) return;
    
    int mid = left + ((right - left) >> 1);
    
    getAns(arr, left, mid);
    getAns(arr, mid + 1, right);
    
    // 合并
    int i = left, j = mid + 1, tmp[n], idx = 0;
    while(i <= mid && j <= right) {
        if(arr[i] <= arr[j])
            tmp[idx++] = arr[i++];
        else
            tmp[idx++] = arr[j++];
    }
    
    while(i <= mid)
        tmp[idx++] = arr[i++];
    while(j <= right)
        tmp[idx++] = arr[j++];
    
    for(int x = left; x <= right; ++x)
        arr[x] = tmp[x - left];
}

int main() {
    
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &arr[i]);
    
    getAns(arr, 0, n - 1);
    
    for(int i = 0 ; i < n; ++i) printf("%d ", arr[i]);
    printf("\n");
    
    return 0;
}

这里，我们还需要关注三个问题：

1. 归并排序是否是稳定的排序？

   是的。因为当array[i] >= array[j]的时候，是将array[i]放入临时数组的。

2. 归并排序是否是原地排序？

   不是。因为每次回溯的时候，需要申请一个临时数组，所以其空间复杂度是O(n)的。

3. 归并排序的时间复杂度是多少？

   T(n) = 2 * T(n/2) + C
   

   T(n) = 2 * (2 * T(n/4) + C/2) + C
   

   T(n) = 2 * T(n/2) + C
        = 2 * (2 * T(n/4) + C/2) + C = 4 * T(n/4) + 2 * C 
        = 4 * (2 * T(n/8) + C/4) + 2 * C = 8 * T(n/8) + 3 * C = 2^3 * T(n/2^3) + 3 * C
        = 2^k * T(n/2^k) + k * C
   

   n/2^k = 1
   k = logn
   

   T(n) = nT(1) + Clogn, C = n
   

   最好，最坏和平均都是O(nlogn)。