二叉树、树

二叉树

• 每个节点至多只有两棵子树_（不存在度大于2的结点）_，有左右子树的分别，次序不可以颠倒

• 完全二叉树

  • 将节点数进行编号，每一个编号的结点所在位置与满二叉树上相同

• 满二叉树

  • 每层节点都是满的，最后一层是叶子节点

• 二叉树的性质

  • 第 $i$ 层上至多有 $2^{i-1}(i>0)$ 个结点

  • 深度为 $k$ 的二叉树至多有 $2^k -1(k>0)$个结点

    • $$\sum_{i=1}^{k}(第i层上最大的节点数) = \sum_{i=1}^k 2^{i-1} = 2^k -1$$

  • 叶子节点 (终端结点) 数为 $n_0$，度为 $2$ 的节点数 $n_2$，则 $n_0=n_2+1$

    • 假设度为1的节点数为 $n_1$，所有节点数为 $N$，所有分支数目$B$

    • $$N = n_0 + n_1 + n2\\ N = B -1\\ B = n_1 + n_2\\ n_0=n_2+1$$

  • 具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度为 $\lfloor \log_n \rfloor + 1$

  • 如果对一颗树有 $n$ 个结点的完全二叉树 (深度为 $\lfloor \log_n \rfloor + 1$) 的结点按连续层序编号，则对任一结点 $i$ ($1\leq i \leq n$) ，有：

    • $i =1$ ,$i$ 为根结点，否则，双亲结点的编号为 $i/2$
    • $2i > n$ , 则编号为 $i$ 的结点没有左孩子，否则左孩子为 $2i$
    • $2i+1 > n$ , 则编号为 $i$ 的结点没有右孩子，否则右孩子为 $2i + 1$

• 二叉树的存储结构

  • 顺序存储
  • 链式存储
    • 二叉链表
    • 三叉链表 (多一个指针指向父节点)

• 二叉树的遍历

  • 先序遍历 $DLR$

    void preOrder(biTree bt){
    	if( bt != null ){
    		visit(bt)
    		preOrder(bt.lchild)
    		preOrder(bt.rchild)
    	}
    }
    

  • 中序遍历 $LDR$

    void inOrder(biTree bt){
    	if( bt != null ){
    		inOrder(bt.lchild)
    		visit(bt)
    		inOrder(bt.rchild)
    	}
    }
    

  • 后序遍历 $LRD$

    void postOrder(biTree bt){
    	if( bt != null ){
    		postOrder(bt.lchild)
    		postOrder(bt.rchild)
    		visit(bt)
    	}
    }
    

• 二叉树的非递归遍历

• 栈_(中序遍历)_

• 队列_(层序遍历)_

• 根据先序遍历和中序遍历还原二叉树

  • 找出根结点，划分左右子树
  • 在左右子树中找出根结点，再划分左右子树

线索二叉树

• 增加两个标志位 $ltag$ ， $ltag$

  $$ltag = \begin {cases} 1 &\text{lchild指示结点的左孩子} \\0 &\text{lchild指示结点的前驱} \end{cases}\\ rtag = \begin {cases} 1 &\text{rchild指示结点的右孩子} \\0 &\text{rchild指示结点的后继} \end{cases}$$

• 如果有左孩子，则 $lchild$ 存储值，否则存储前驱 (前驱和后继按照遍历的顺序)

• 如果有右孩子，则 $rchild$ 存储值，否则存储后继

• 前驱：该结点左子树右指针域为1

• 后继：该结点右子树左指针域为1

树

• 双亲表示法

  本节点的值	结点双亲在数组中的位置
  $data$	$parent$

• 孩子表示法：将头指针作为一个线性表，孩子结点用单链表存储

  例如：

  数组下标	$data$	$firstchild$
  0	$A$	$\rightarrow$	${1,\rightarrow}$	${2,null}$
  1	$B$	$\rightarrow$	${3,\rightarrow}$	${4,null}$
  2	$C$	null
  3	$D$	null

• 孩子兄弟表示法：二叉树表示法，二叉链表表示法

树、森林、二叉树

• 零棵或有限棵互不相交的数的集合称为森林
• 树是 $n$ 个结点的有限集 $T$