[学|数]一、3 数量积 和 向量积

数量积

1 数量积的概念和性质

• 数量积。$\alpha \cdot \beta = \left | \alpha \right | \cdot \left | \beta \right | cos\varphi$ 。$cos\varphi 为 \alpha 和 \beta 的夹角$。
• 数量积 又称 点积
• 数量积是数量
• 运算律。 交换律、结合律、分配律
• 数量积的坐标表示。 $\alpha \cdot \beta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

向量积

• 向量积 公式。$\alpha \times \beta = \left | \alpha \right | \cdot \left | \beta \right | sin\varphi$ 。$sin\varphi 为 \alpha 和 \beta 的夹角$。

• 向量积 又称为 叉积。

• 向量积 是向量 。数量积是数量

• 向量积 运算律。

  • 反交换律 $\alpha \times \beta = -(\beta \times \alpha)$
  • 结合律
  • 分配律

• 向量积的模的 几何意义 。平行四边形的面积 = 向量积的模。

• 向量积的坐标表示。 $\begin{aligned} \alpha \times \beta &= (a_2b_3 - a_3b_2)i - (a_1b_3 - a_3b_1)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k\\ &= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} i - \begin{vmatrix}a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} j + \begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} k \\ &=\begin{vmatrix}i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix} \end{aligned}$