前言：一文掌握计算机必备基础之数据表示及运算(下)

3 二进制数据的运算

3.1 定点数与浮点数

原码、反码和补码可以表示正负整数和纯小数，对于整数和小数部分兼有的数值却没有办法表示。为了合理表示，我们引入定点数和浮点数的概念

3.1.1 定点数的表示方法
- 小数点固定在某个位置的数被称为定点数
- 定点数的表示方法

对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个合适的比例因子，数据按比例因子缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，结果输出时再按比例折算成实际值。

举例： 计算 11.01 + 10.01

选择比例因子 0.01，可将两操作数变换成 0.1101 + 0.1001，但 0.1101 + 0.1001 = 1.0110，运算结果不是纯小数，出现了机器数不能表示的数，即出现了正溢出。
如果选择比例因子＝0.001，可将两操作数变换为 0.01101＋0.01001 则运算结果 0.01101＋0.01001＝0.10110 为正常结果。将 0.10110 除以比例因子，可得到正确结果 101.10。
3.1.2 浮点数的表示方法

引进浮点数的原因如下
- 计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数
- 数据范围大，定点数难以表达

浮点数的表示格式

先复习一下读书时代学过的科学计数法：

$1.2345：尾数$
$10：基数$
$11：阶码$

浮点数的表示方法与科学计数法类似，如下：

需要注意的是浮点数规定尾数必须使用小数，如 $11.0101 = 0.110101*2^{10}或者11.0101 = 0.0110101*2^{11}等$

上面两个浮点数表现形式在计算机中是这样存储的（规定尾数数值位为8位）

浮点数的表示范围假设阶码数值取m位，尾数取 n 位(尾数只能为小数):
- 阶码能够表示的最大值:
- 算上负数，可得阶码表示范围：
- 尾数能够表示的最大值：
- 尾数能够表示的最小值：
- 尾数能够表示范围有： $[-(1-2^{-n},-2^{-n})] 和 [2^{-n}, 1-2^{-n}]$

结合阶码和尾数即可得浮点数的表示范围，不在此范围内的则溢出，分上溢和下溢，（上溢因为数值太大，下溢因为数值太小）

浮点数的精度

单精度浮点数：使用4字节、32位来表达浮点数(float)
双精度浮点数：使用8字节、64位来表达浮点数(double)

浮点数的规格化

尾数规定使用纯小数
尾数最高位(小数点后一位)必须是 1

举个例子

+ 11.0101 = 0.110101*2^10
- 11.0101 = 0.0110101*2^11  //尾数最高位为0，不符合
- 11.0101 = 0.00110101*2^100  //尾数最高位为0，不符合
- 11.0101 = 1.10101*2^1  //尾数不是纯小数，不符合

来做两道题检测一下学习效果

例子1：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数13/128表示为二进制浮点数。
- 原码 = 反码 = 补码： x = 0.0001101000
- 浮点数规格化：

例子2：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数-54表示二进制浮点数
- 原码：x = 1,110110
- 浮点数规格化：

3.1.3 定点数和浮点数的对比
- 当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
- 当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
- 浮点数运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂
- 浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数
- 浮点数在运算规则、运算速度、硬件成本方面不如定点数

3.2 定点数的加减法运算

整数加法： A[补]+B[补] = [A+B][补]（）
小数加法： A[补]+B[补] = [A+B][补]（）

运算的时候，数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

🌰 例子1：A = -110010, B = 001101，求 A+B

🌰 例子2：A=-0.1010010，B=0.0110100，求A+B

🌰 例子3：A = -10010000，B = -01010000，求 A+B

🌰 例子4：A= -10010000，B= -11010000，求 A+B

在 🌰 例子4中，我们发现一个很奇怪的问题，A和B都是负数，它们相加结果却为正数，这是为什么呢？
因为A和B都是用8位数字来表示，但是A+B的结果用8位存不下来，于是发生了溢出。
如何判断溢出？

双符号位判断法
- 单符号位表示变成双符号位：0=>00,1=>11
- 双符号位产生的进位丢弃
- 结果的双符号位不同则表示溢出

用这种方法再来看下 🌰 例子4：A = -10010000, B = -11010000,求 A + B

再用这个方法看下 🌰 例子3：A = -10010000, B = -01010000,求 A + B

前面提到的这么多都是关于整数和小数的加法运算，现在来讲整数和小数的减法运算

整数减法： A[补] - B[补] = A + (-B)[补]（）
小数减法： A[补] - B[补] = A + (-B)[补]（mod2）
- B[补] 等于 B[补] 连同符号位按位取反，末位加一
- 如B[补]=1,0010101， - B[补]=0,1101011
- 例子5：A=11001000，B=-00110100，求 A-B
  1. A[补] = A[原] = 0,11001000
  2. B[补] = 1,11001100，(-B)[补] = 0,00110100
  3. A[补] - B[补] = A+(-B)[补]=0,11111100
  4. A - B = 111111100

3.3 浮点数的加减法运算

浮点数的加减法运算较之前要麻烦一些，主要有以下步骤

对阶
尾数求和
尾数规格化
舍入
溢出判断

对阶
- 浮点数尾数运算简单
- 浮点数位数实际小数位与阶码有关
- 阶码按小阶看齐大阶的原则
对阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算

接下来看个例子：，，它们如果要进行加减运算，首先要进行下面对阶操作

尾数求和
- 使用补码进行运算
- 减法运算转化为加法运算： A - B = A + ( - B)
$x=0.0011*2^{11}，y=(-0.1010)*2^{11}$

x[原] = 00.0011， x[补]=00.0011
y[原] = 11.1010， y[补]=11.0110

$S=(x y)[补]=11.1001$