前言：一文掌握计算机必备基础之数据表示及运算(上)

1 进制运算的基础知识

1.1 进制运算的基础

1.1.1进制概述

进制的定义

$1.进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法。$ $2.通过有限种数字符号来表示无限的数值$ $3.使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或者底数$

如 n = 10[0-9] 称为十进制（通过 0-9 这十个符号表示无限的数值）

常见的几种进制
- 二进制
  - 1. 二进制数据是用 0 和 1 两个数码来表示的数。它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。
  - 1. 当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。
- 八进制
  - 1. Octal, 缩写 OCT 或 O , 一种以 8 为基数的计数法, 采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字，逢八进1。
  - 1. 八进制的数和二进制数可以按位对应（八进制一位对应二进制三位），因此常应用在计算机语言中。
- 十进制
  1. 全世界通用的一种进制，古代世界中最先进、科学的记数法
  2. 满十进一，满二十进二，以此类推……
  3. 按权展开，第一位权为10^0，第二位10^1……以此类推，第N位10^（N-1），该数的数值等于每位的数值*该位对应的权值之和。
- 十六进制
  1. （简写为hex或下标16）在数学中是一种逢16进1的进位制。一般用数字0到9和字母A到F（或a~f）表示，其中A~F表示10~15，这些称作十六进制数字。
  2. 计算机网卡的 mac 地址通常用十六进制数表示
- 六十进制
  - 时间、坐标、角度等量化数据

1.1.2 二进制运算的基础

二进制转化为十进制：按权展开法

正整数 N ,基数为 r
如 N = 1024 —> N = $1 * 10^3加2*10^1加4，N = 1000000000 —> N = 1 * 2^{10}$

再如 🌰：

case1 : N = (01100101) = 1*2^6 + 1*2^5 + 1*2^2 + 1 = 101
case2 : N = (11101101) = 1*2^7 + 1*2^6 + 1*2^5 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1 = 237

（整数）十进制转换二进制：辗转相除法
- 以十进制数101为例🌰
重复除以2 得商取余数

101/2 50 1

50/2 25 0

25/2 12 1

12/2 6 0

6/2 3 0

3/2 1 1

1/2 0 1

结果为 N = （101） = 1100101（二进制） 从下至上取结果
- 再以十进制数237为例 🌰
重复除以2 得商取余数

237/2 118 1

118/2 59 0

59/2 29 1

29/2 14 1

14/2 7 0

7/2 3 1

3/2 1 1

1/2 0 1

结果为 N = （237） = 11101101（二进制） 从下至上取结果

重复除以2	得商	取余数
101/2	50	1
50/2	25	0
25/2	12	1
12/2	6	0
6/2	3	0
3/2	1	1
1/2	0	1

重复除以2	得商	取余数
237/2	118	1
118/2	59	0
59/2	29	1
29/2	14	1
14/2	7	0
7/2	3	1
3/2	1	1
1/2	0	1

（小数）二进制转十进制：按权展开法

$公式 N = d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1} d_{n-2}r^{n-2} ... d_1r d_0$
举例：

case1 : N = (0.11001) = 1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-5 = 0.78125 = 25/32
case2 : N = (0.01011) = 1*2^-2 + 1*2^-4 + 1*2^-5 = 0.34375 = 11/32

（小数）十进制转换二进制：辗转相乘法
- 🌰 栗子1： 25/32 转二进制
重复乘以2 得积取1

25/32 50/32 = 1 + 9/16 1

9/16 18/16 = 1 + 1/8 1

1/8 1/4 = 0 + 1/4 0

1/4 1/2 = 0 + 1/2 0

1/2 1 = 1 + 0 1

结果为 N = （25/32） = (系数1前面是“+”) = 0.11001（二进制）
注意⚠️：是 从上至下取结果，与整数转换进制顺序是相反的，做完可以自己验算一下的，可别搞混了
- 🌰 栗子2： 11/32 转二进制
重复乘以2 得积取1

11/32 11/16 = 0 + 11/16 0

11/16 11/8 = 1 + 3/8 1

3/8 3/4 = 0 + 3/4 0

3/4 3/2 = 1 + 1/2 1

1/2 1/1 = 1 + 0 1

结果为 N = （11/32）= (系数1前面是“+”) = 0.01011（二进制）
注意⚠️：是 从上至下取结果，与整数转换进制顺序是相反的

重复乘以2	得积	取1
25/32	50/32 = 1 + 9/16	1
9/16	18/16 = 1 + 1/8	1
1/8	1/4 = 0 + 1/4	0
1/4	1/2 = 0 + 1/2	0
1/2	1 = 1 + 0	1

重复乘以2	得积	取1
11/32	11/16 = 0 + 11/16	0
11/16	11/8 = 1 + 3/8	1
3/8	3/4 = 0 + 3/4	0
3/4	3/2 = 1 + 1/2	1
1/2	1/1 = 1 + 0	1

2 二进制数据的表示方法

2.1 有符号数与无符号数

在之前举的例子中二进制数都是默认正数的例子，那 负数怎么办呢？ 众所周知，十进制中用+表示正数-表示负数，计算机中无法不识别这样的符号，二进制 使用 0 表示正数，使用 1 表示负数 。这样表示还有一个问题是 怎么判断它是数字位还是符号位呢？ 十进制将符号写在数值前面表示正负，如+237，-237，二进制中同样采用这种表示方式，如下图所示：