算法分析（4）——详解矩阵乘法中的Strassen算法

一、矩阵乘法

学过线性代数的都会接触到矩阵乘法这一概念，所谓矩阵乘法（matrix multiplication），就是A矩阵的行向量·B矩阵的列向量得到结果矩阵C的对应位置上的元素。

假设A为mp的矩阵，B为pn的矩阵，那么称m*n的矩阵C为A和B的乘积，记为C=AB。其中C的第i行第j列元素可以表示为：

假如在矩阵A和矩阵B中，m=p=n=N ，那么完成 C=AB需要多少次乘法呢？

这个算法的伪代码如下:

这样也可以清楚的看出这个算法的时间复杂度是Θ(n³)（三层循环）。

二、递归思想的引入

上述方法是最直接的算法，接下来分析一种递归算法（SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE），看一下时间复杂度会不会改进。

对于上面的过程，我们可以用一种递归算法计算，让我们来分析下：

假设A和B都是N*N的方矩阵，求C=AB，如下图:

其中：

伪代码如下（递归计算）：

从上述公式我们可以得出，计算2个nn的矩阵需要4个（n/2）（n/2）的矩阵相乘8次，再相加4次。所以，时间复杂度T（n）可以得到:

O(n2)表示4次矩阵相加的时间复杂度及合并C的时间复杂度4O(n2)+O(n2)=5O(n2)

忽略常数因子，可视为O(n2)，所以

可以看到，时间复杂度其实并没有优化。接下来就该说说Volker Strassen这个人的牛逼了

三、Strassen算法

1969年Volker Strassen这个人提出了一个非常牛逼的算法——Strassen算法，它将矩阵的时间复杂度从变为了。它证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于O(n3)的算法。

Strassen算法的实现步骤（看着有点玄学，具体推导步骤太过复杂玄学）：

1. 按上述的递归思想，将A，B，C分解（因为是按照索引分解，所以时间复杂度为O(1))。
2. 创建10个（n/2）×（n/2）的矩阵S1，S2，S3，…，S10（花费时间O（n2））。
3. 递归计算7个矩阵积P1，P2，…，p7，每个矩阵都是（n/2）×（n/2）的。
4. 通过Pi计算C11，C12，C21，C22，花费时间O（n2）

综合得出如下递归式：