9. 弗洛伊德算法
弗洛伊德(Floyd)算法介绍
- 和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法 名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
- 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
- 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
- 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法:迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点 的最短路径;弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每 一个顶点到其他顶点的最短路径。
弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
- 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij， 则 vi 到 vj 的最短路径为:min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径
- 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得
- 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明
示例:求最短路径为例说明
弗洛伊德算法的步骤:
第一轮循环中，以 A(下标为:0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表 和 前驱关系】 距离表和前驱关系更新为:
分析如下:
- 以 A 顶点作为中间顶点是，B->A->C 的距离由 N->9，同理 C 到 B;C->A->G 的距离由 N->12，同理 G 到 C
- 更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束
弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
- 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里 3) 问:如何计算出各村庄到其它各村庄的最短距离?
代码实现
package com.dsh.top_ten_algorithm.floyd;
import java.util.Arrays;
/**
* @author DSH
* @date 2020/10/11
* @description 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
*/
public class FloydAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试看看图是否创建成功
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' }; //创建邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;
matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
//创建 Graph 对象
Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex); //调用弗洛伊德算法
graph.floyd();
graph.show();
}
}
//创建图
class Graph{
private char[] vertex;//存放顶点的数组
private int[][] dis;//保存,从各个顶点触发到其他顶点的距离, 最后的结果,也是保留在该数组
private int[][] pre;//保存到达目标顶点的前驱顶点
/**
*
* @param length 大小
* @param matrix 邻接矩阵
* @param vertex 顶点数组
*/
public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
this.vertex = vertex;
this.dis = matrix;
this.pre = new int[length][length];
//对pre数组初始化, 存放的是前驱顶点的下标
for (int i = 0; i < length; i++) {
Arrays.fill(pre[i],i);
}
}
//显示pre数组
public void show(){
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//先将pre数组输出一行
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print(vertex[pre[k][i]]+" ");
}
System.out.println();
//输出dis数组的一行数据
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
System.out.print("( "+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是 "+dis[k][i]+" )");
}
System.out.println();
System.out.println();
}
}
//弗洛伊德算法
public void floyd(){
int len = 0;//变量保存距离
//对中间顶点遍历, k就是中间顶点的下标
for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
//从i顶点开始出发['A','B','C','D','E','F','G']
for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i顶点触发,经过k中间顶点,到达j顶点的距离
if (len < dis[i][j]){//如果len小于dis[i][j]直连距离
dis[i][j] = len; //更新
pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
}
}
}
}
}
}
10. 马踏棋盘算法
马踏棋盘算法介绍和游戏演示
- 马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
- 将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0
7][07]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求 每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部 64 个方格 - 游戏演示:www.4399.com/flash/14626…
马踏棋盘游戏代码实现
- 马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
- 如果使用回溯(就是深度优先搜索)来解决，假如马儿踏了53个点，如图:走到了第53个，坐标(1,0)，发 现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯...... ，思路分析+代码 实现
对第一种实现方式的思路图解
-
分析第一种方式的问题，并使用贪心算法(greedyalgorithm)进行优化。解决马踏棋盘问题.
- 1.我们获取当前位置,可以走的下一个位置的集合
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList ps= next(new Point(column, row); - 2.我们需要对ps中所有 Point,的下一步的所有集合的数目,进行非递减排序就ok,
9,7,6,5,3,2,1//递减排序
1,2,3,4,5,6,10,//递增排序
1,2,2,2,3,3,4,5,6//非递减
9,7,6,6,6,5,5,3,2,1//非递增
- 1.我们获取当前位置,可以走的下一个位置的集合
-
使用前面的游戏来验证算法是否正确。
-
代码实现(贪心算法优化前)
/**
* @author DSH
* @date 2020/10/14
* @description 马踏棋盘算法(骑士周游问题)
*/
public class HorseChessboard {
private static int X;//棋盘的列数
private static int Y;//棋盘的行数
//创建一个数组,标记棋盘的各个位置是否被访问过
private static boolean visited[];
//使用一个属性,标记是否棋盘的所有位置都被访问过
private static boolean finished;//如果为true,表示成功
public static void main(String[] args) {
//测试骑士周游算法是否正确
X = 8;
Y = 8;
int row = 1;//马儿初始位置的行, 从1开始编号
int column = 1;//马儿初始位置的列, 从1开始编号
//创建棋盘
int[][] chessboard = new int[X][Y];
visited = new boolean[X*Y];//初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessboard(chessboard,row-1,column-1,1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("花费时间=="+(end-start));
//输出棋盘的最后情况
for (int[] rows: chessboard) {
for (int step: rows) {
System.out.print(step+"\t");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前位置的列 从0开始
* @param step 马儿当前是第几步, 初始位置就是第一步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step){
chessboard[row][column] = step;
// row = 4 X = 8 column = 4 => 36
visited[row*X+column] = true;//标记该位置已访问
//获取当前位置可以走的下一个位置集合
ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
//遍历ps
while(!ps.isEmpty()){
Point p = ps.remove(0);//取出一个点, 即下一个可以走的位置
//判断改点是否已经访问过
if (!visited[p.y * X + p.x]){//说明还没有访问
traversalChessboard(chessboard,p.y,p.x,step+1);
}
}
//判断马儿是否完成了任务,使用step和应该走的步数比较
//如果没有达到数量, 则表示没有完成任务,将整个棋盘置0
//说明: step < X*Y 成立的情况有两种
//1. 棋盘到目前为止,仍然没有走完
//2. 棋盘处于回溯过程
if (step<X*Y && !finished){
chessboard[row][column] = 0;
visited[row*X+column] = false;
}else {
finished = true;
}
}
/**
* 功能：根据当前位置（Point对象），计算马儿还能走哪些位置（Point），并放入到一个集合中（ArrayList），最多有8个位置
* @param curPoint
* @return
*/
public static ArrayList<Point> next(Point curPoint){
//创建一个ArrayList
ArrayList<Point> ps = new ArrayList<>();
//创建一个point
Point p1 = new Point();
//表示马儿可以走5这个位置
if ((p1.x = curPoint.x-2)>=0 && (p1.y=curPoint.y-1)>=0){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走6这个位置
if ((p1.x = curPoint.x-1)>=0 && (p1.y=curPoint.y-2)>=0){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走7这个位置
if ((p1.x = curPoint.x+1) < X && (p1.y=curPoint.y-2)>=0){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走0这个位置
if ((p1.x = curPoint.x+2) < X && (p1.y=curPoint.y-1)>=0){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走1这个位置
if ((p1.x = curPoint.x+2)<X && (p1.y=curPoint.y+1)<Y){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走2这个位置
if ((p1.x = curPoint.x+1)<X && (p1.y=curPoint.y+2)<Y){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走3这个位置
if ((p1.x = curPoint.x-1)>=0 && (p1.y=curPoint.y+2)<Y){
ps.add(new Point(p1));
}
//表示马儿可以走4这个位置
if ((p1.x = curPoint.x-2)>=0 && (p1.y=curPoint.y+1)<Y){
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
}
输出
花费时间==26986毫秒
1 8 11 16 3 18 13 64
10 27 2 7 12 15 4 19
53 24 9 28 17 6 63 14
26 39 52 23 62 29 20 5
43 54 25 38 51 22 33 30
40 57 42 61 32 35 48 21
55 44 59 50 37 46 31 34
58 41 56 45 60 49 36 47
- 代码实现(贪心算法优化后) 在traversalChessboard()方法中增加排序操作
...
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前位置的列 从0开始
* @param step 马儿当前是第几步, 初始位置就是第一步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step){
chessboard[row][column] = step;
// row = 4 X = 8 column = 4 => 36
visited[row*X+column] = true;//标记该位置已访问
//获取当前位置可以走的下一个位置集合
ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
//贪心算法优化
//对ps进行排序, 排序的规则就是对ps所有的point对象的下一步的位置的数目, 进行非递减排序
sort(ps);
//遍历ps
while(!ps.isEmpty()){
Point p = ps.remove(0);//取出一个点, 即下一个可以走的位置
//判断改点是否已经访问过
if (!visited[p.y * X + p.x]){//说明还没有访问
traversalChessboard(chessboard,p.y,p.x,step+1);
}
}
//判断马儿是否完成了任务,使用step和应该走的步数比较
//如果没有达到数量, 则表示没有完成任务,将整个棋盘置0
//说明: step < X*Y 成立的情况有两种
//1. 棋盘到目前为止,仍然没有走完
//2. 棋盘处于回溯过程
if (step<X*Y && !finished){
chessboard[row][column] = 0;
visited[row*X+column] = false;
}else {
finished = true;
}
}
...
//根据当前这一步的所有的下一步的选择的位置进行非递减排序,减少回溯的可能
public static void sort(ArrayList<Point> ps){
ps.sort(new Comparator<Point>() {
@Override
public int compare(Point o1, Point o2) {
//获取到o1点的下一步的所有位置的个数
int count1 = next(o1).size();
int count2 = next(o2).size();
if (count1 < count2){
return -1;
}else if (count1==count2){
return 0;
}else {
return 1;
}
}
});
}
...
输出结果
花费时间==37毫秒
1 16 37 32 3 18 47 22
38 31 2 17 48 21 4 19
15 36 49 54 33 64 23 46
30 39 60 35 50 53 20 5
61 14 55 52 63 34 45 24
40 29 62 59 56 51 6 9
13 58 27 42 11 8 25 44
28 41 12 57 26 43 10 7
