数据结构与算法之美笔记

入门篇

01 | 复杂度分析(上) 如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

大O复杂度表示法

我来具体解释一下这个公式。其中，T(n)我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

所以，第一个例子中的T(n)=O(2n+2)，第二个例子中的T(n)=O(2n2+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。「大O时间复杂度」实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是「表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势」，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

如何分析一段代码的时间复杂度？

「只关注循环执行次数最多的一段代码」，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。
「加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度」，回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。「总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。」
「乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积」

几种常见时间复杂度实例分析

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，「多项式量级」和「非多项式量级」。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

多项式时间复杂度

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。「一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。」

O(logn)、O(nlogn)

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。

所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

「时间复杂度」的全称是渐进时间复杂度，「表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。」 类比一下，「空间复杂度」全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），「表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。」

内容小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，「越高阶复杂度的算法，执行效率越低。」 常见的复杂度并不多，「从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2 )。」

02 | 复杂度分析（下）：浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

最好、最坏情况时间复杂度

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。