6.普里姆算法
应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题:
- 有胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小. 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
- N 个顶点，一定有 N-1 条边
- 包含全部顶点
- N-1 条边都在图中
- 举例说明(如图:)
- 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的 连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边(ui,vj)加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
- 重复步骤2，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
- 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
- 图解普利姆算法
代码
- 有胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
/**
* @author DSH
* @date 2020/10/9
* @description 普利姆算法
*/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000表示两个点不连通
int [][] weight = new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}};
//创建一个MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(verxs);
//创建最小生成树对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(mGraph,verxs,data,weight);
//输出
minTree.showGraph(mGraph);
//测试普里姆算法
minTree.prim(mGraph,0);//<A,G,B,E,F,D,C>
}
}
//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree{
//创建图的邻接矩阵
/**
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个定点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph,int verxs, char data[], int[][] weight){
int i,j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph){
for (int[] link: graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写prim算法, 得到最小生成树
/**
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成
*/
public void prim(MGraph graph,int v){
//1. 标记节点(顶点)是否被访问
int[] visited = new int[graph.verxs];
//visited[] 默认元素的值都是0,表示没有访问过
//把当前节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;//将minWeight初始为一个大数,遍历过程中, 会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有graph.verxs个顶点, 普里姆算法结束后,有graph.verxs-1条边
//这个是确定每一次生成的子图和哪个此次遍历的节点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {//i节点表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j表示还没有访问过的节点
if (visited[i]==1 && visited[j]==0 && graph.weight[i][j]<minWeight){
//替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//退出此次for循环,找到了一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:"+minWeight);
//将当前节点标记为已经访问过了
visited[h2] = 1;
//重置minWeight
minWeight = 10000;
}
}
}
//创建邻接矩阵 图
class MGraph{
int verxs;//表示图的节点个数
char[] data;//保存节点数据
int[][] weight;//存放边,就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
输出
边<A,G> 权值:2
边<G,B> 权值:3
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7
7.克鲁斯卡尔算法
应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题:
- 某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
- 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法介绍
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
- 具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔算法图解说明
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤:
在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到 最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。
- 第 1 步:将边<E,F>加入 R 中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 2 步:将边<C,D>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 3 步:将边<D,E>加入 R 中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 4 步:将边<B,F>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳 过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 5 步:将边<E,G>加入 R 中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 6 步:将边<A,B>加入 R 中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<F,G>。同理，跳 过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。
此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。 然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如 何 判 断 是 否 构 成 回 路 -举 例 说 明 (如 图 )
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点:
(01) C 的终点是 F
(02) D 的终点是 F
(03) E 的终点是 F
(04) F 的终点是 F
关于终点的说明:
- 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
- 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将<C,E> 加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一 个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】
克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
看一个公交站问题:
- 有北京有新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
- 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
- 代码实现和注解
/**
* @author DSH
* @date 2020/10/9
* @description 克鲁斯卡尔算法解决公交站问题
*/
public class KruskaCase {
private int edgeNum;//边的个数
private char[] vertexs;//顶点数组
private int[][] martix;//邻接矩阵
//使用INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexts = {'A','B','C','D','E','F','G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
//创建KruskaCase对象实例
KruskaCase kruskaCase = new KruskaCase(vertexts, matrix);
//输出构建的矩阵
kruskaCase.print();
//排序测试代码
// EData[] edges = kruskaCase.getEdges();
// System.out.println("排序前"+Arrays.toString(edges));
// kruskaCase.sortEdges(edges);
// System.out.println("排序后"+Arrays.toString(edges));
kruskaCase.kruskal();
}
//构造器
public KruskaCase(char[] vertexs, int[][] martix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
//初始化顶点,复制拷贝的方式, 用for循环是为了不修改传入的vertexs
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边
this.martix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.martix[i][j] = martix[i][j];
}
}
//统计边
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i+1; j < vlen; j++) {
if (this.martix[i][j]!=INF){
edgeNum++;
}
}
}
}
//对边进行排序,冒泡排序
private void sortEdges(EData[] edges){
for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length-1-i; j++) {
if (edges[j].weight>edges[j+1].weight){
EData temp = edges[j];
edges[j] = edges[j+1];
edges[j+1] = temp;
}
}
}
}
/**
*
* @param ch 传入的顶点的值 比如'A', 'B'等
* @return 返回ch顶点对应的下标, 如果找不到,返回-1
*/
private int getPosition(char ch){
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i]==ch){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 获取图中的边放到EData[] 数组中, 后面需要遍历该数组
* 是通过matrix邻接矩阵来获取
* EData[] 形式 [{'A','B','12'}...]
* @return
*/
private EData[] getEdges(){
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i+1; j < vertexs.length; j++) {
if (martix[i][j]!=INF){
edges[index++] = new EData(vertexs[i],vertexs[j],martix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends 数组记录了各个顶点对应的终点是哪个, ends 数组是在遍历过程中,逐步形成
* @param i 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends,int i){
while (ends[i]!=0){
i = ends[i];
}
return i;
}
//
public void kruskal(){
int index = 0;//表示最后结果数组的索引
int ends[] = new int[edgeNum];//用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组,保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];
//获取图中所有的边的集合, 一共有12条边
EData[] edges = getEdges();
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges数组,将边添加到最小生成树中,判断是准备加入的边是否形成了回路,如果没有,就加入到rets,否则不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start);// E : 4
//获取到第i条边的第二个顶点(终点)
int p2 = getPosition(edges[i].end);// F : 5
//获取p1这个顶点在已有的最小生成树中的终点是哪一个
int m = getEnd(ends,p1);
//获取p2这个顶点在已有的最小生成树中的终点是哪一个
int n = getEnd(ends,p2);
//判断是否构成回路
if (m != n){//没有构成回路
ends[m] = n;//设置m在已有最小生成树中的终点 <E,F> [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] => [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] (E的终点是F)
rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组
}
}
//统计并打印"最小生成树",输出rets
System.out.println("最小生成树为");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
// System.out.println("最小生成树为 = "+Arrays.toString(rets));
}
//打印邻接矩阵
public void print(){
System.out.println("邻接矩阵为:");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%15d",martix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
}
//创建一个类EData, 它的对象实例表示一条边
class EData{
char start;//边的起点(一个点)
char end;//边的终点(另外一个点)
int weight;//边的权值
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "EData{" +
"<" + start +
", " + end +
">=" + weight +
'}';
}
}
8. 迪杰斯特拉算法
应用场景-最短路径问题
看一个应用场景和问题:
- 战争时期，胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A,B,C,D,E,F 六个村庄
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
- 问:如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
- 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
- 设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi...}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di...}，Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0，v 到 vi 距离对应为 di)
- 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
- 更新Dis集合，更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的)
- 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
- 战争时期，胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A,B,C,D,E,F 六个村庄
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
- 问:如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
- 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
- 使用图解的方式分析了迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思路
代码实现
/**
* @author DSH
* @date 2020/10/10
* @description 迪杰斯特拉算法 解决最短路径问题
*/
public class DijkstraAlogrithm {
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//邻接矩阵
int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
final int N = 65535;//表示不可连接
matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};
matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};
matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};
matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};
matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};
matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};
matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};
//创建graph对象
Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
//测试邻接矩阵显示
graph.showGraph();
graph.dijkstra(6);//出发顶点是G
graph.showDijistra();
}
}
//创建邻接矩阵 图
class Graph {
char[] vertex;//顶点数组
int[][] matrix;//邻接矩阵
VisitedVertex visitedVertex;
public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//迪杰斯特拉算法
/**
* @param index 表示出发顶点对应的下标
*/
public void dijkstra(int index){
visitedVertex = new VisitedVertex(vertex.length, index);
update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {
index = visitedVertex.updateArr();//选择并返回新的访问顶点
update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
}
}
//更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
private void update(int index){
int len = 0;
//根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index] 行
for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
len = visitedVertex.getDis(index)+matrix[index][j];
//如果j顶点没有被访问过,并且len小于出发顶点到j顶点的距离,就需要更新
if (!visitedVertex.in(j) && len < visitedVertex.getDis(j)){
visitedVertex.updatePre(j,index);//更新j顶点的前驱为index的顶点
visitedVertex.updateDis(j,len);//更新出发顶点到j顶点的距离
}
}
}
public void showDijistra(){
visitedVertex.show();
}
}
//已访问顶点的集合
class VisitedVertex{
// 记录各个顶点是否访问过 1 表示访问过,0 未访问,会动态更新
public int[] already_arr;
// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
public int[] pre_visited;
// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如 G 为出发顶点，就会记录 G 到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到 dis
public int[] dis;
/**
*
* @param length 表示顶点的个数
* @param index 出发顶点对应的下标,比如G顶点,下标就是6
*/
public VisitedVertex(int length,int index) {
this.already_arr = new int[length];
this.pre_visited = new int[length];
this.dis = new int[length];
//初始化dis数组
Arrays.fill(dis,65535);
this.already_arr[index] = 1;//设置出发顶点被访问过
this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0
}
/**
* 功能: 判断index顶点是否被访问过
* @param index
* @return 如果访问过 返回true,否则false
*/
public boolean in(int index){
return already_arr[index] == 1;
}
/**
* 更新出发顶点到index顶点的距离
* @param index 哪一个顶点
* @param len 距离多少
*/
public void updateDis(int index,int len){
dis[index] = len;
}
/**
* 功能: 更新pre这个顶点的前驱为index的节点
* @param pre
* @param index
*/
public void updatePre(int pre, int index){
pre_visited[pre] = index;
}
/**
* 功能: 返回出发顶点到index顶点的距离
* @param index
*/
public int getDis(int index){
return dis[index];
}
/**
* 继续选择并返回新的访问顶点, 比如这里的G之后, 就是A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
* @return
*/
public int updateArr(){
int min = 65535, index = 0;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min){
min = dis[i];
index = i;
}
}
//更新index顶点被访问过
already_arr[index] = 1;
return index;
}
/**
* 显示最后的结果
* 即将三个数组的情况输出
*/
public void show(){
System.out.println("=================");
//already_arr
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
System.out.print(already_arr[i]+" ");
}
System.out.println();
//pre_visited
for (int pre: pre_visited) {
System.out.print(pre+" ");
}
System.out.println();
//dis
for (int d: dis) {
System.out.print(d+" ");
}
System.out.println();
//输出整理
char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int count = 0;
for (int d: dis) {
if (d!=65535){
System.out.print(vertex[count]+"("+d+") ");
}else {
System.out.print("N");
}
count++;
}
//输出结果 A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)
System.out.println();
}
}
