《大话数据结构》--时间复杂度

算法时间复杂度的定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做：T(n) = O(f(n)).它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

问题规模n和执行次数T(n)

一般随着n增大，T(n)增长最慢的算法被称之为最优算法。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

计算1+2+3+······+100的结果

两个算法的第一行和最后一行语句一样，所以我们关注中间部分。我们把循环看做整体，忽略头尾循环判断的开销，那么这两个算法其实就是n次和1次的差别。

在上述算法中，

第一种n=100，T(n) = 100;

第二种n=100，T(n) = 1;

运行时间和有消耗的基本操作的执行次数成正比

大O记法

用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，称之大O记法。O(1)叫做常数阶、O(n)叫做线性阶、O(n²)称作平方阶。

推导大O阶方法

1. 使用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则取出与这个项相乘的常数，得到的结果就是大O阶

常数阶

int n = 100, sum = 0;  // 执行1次
sum = (1 + n) * n / 2;//执行1次
System.out.println(sum); //执行1次

运行函数f(n) = 3。根据推导大O阶方法，

1. 把常数项的3改为1
2. 没有最高阶项，所以算法复杂度为O(1).

线性阶

for (int i = 0; i < n; i++) {     
    // 时间复杂度为O(1)的程序步骤
}

分析算法的复杂度，关键是分析循环体结构的运行情况。由于循环体中代码需要执行n次，所以时间复杂度为O(n)

对数阶

int count = 1;
while(count < n) {    
    count = count * 2; // 时间复杂度为O(1)的程序步骤
}

有多少个2相乘后就会大于n，则会退出循环。有2X = n得到n = log₂n。所以这个循环的复杂度为O(logn)

平方阶

for (int i = 0; i < n; i++) {    
    for (int j = 0; j < n; j++) {        
        // 时间复杂度为O(1)的程序步骤    
    }
}

内循环的时间复杂度为O(n),再循环n次，时间复杂度为O(n²)。如果外循环的次数改为m，时间复杂度为O(m*n)。

for (int i = 0; i < n; i++) {    
    for (int j = i; j < n; j++) {        
        // 时间复杂度为O(1)的程序步骤    
    }
}

当i=0时，内循环循环n次，i=1时，循环n-1次·······,当i=n-1时，执行了1次。 执行次数 = n + (n-1) + (n-2) + ····· + 1 = n(n-1)/2 = n²/2 + n/2.

static void function(int count) {    
    for (int i = 0; i < n; i++) {        
        // 时间复杂度为O(1)的程序步骤    
    }
}

function(n);    // 执行次数 n次
for (int i = 0; i < n; i++) {    // 执行次数 n*n次
    function(n);
}    
for (int i = 0; i < n; i++) {     // 执行次数 n*（n+1）/2次
    for (int j = i; j < n; j++) {        
        // 时间复杂度为O(1)的程序步骤    
    }
}