前言
本篇章主要介绍图的最小生成树，包括Prim算法和Kruskal算法，并用Python代码实现。
1. 创建图
在开始之前，我们先创建一个图，使用邻接矩阵表示图：
class Graph(object):
"""
以邻接矩阵为存储结构创建无向网
"""
def __init__(self, kind):
# 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
# kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
self.kind = kind
# 顶点表
self.vertexs = []
# 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
self.arcs = []
# 当前顶点数
self.vexnum = 0
# 当前边(弧)数
self.arcnum = 0
def CreateGraph(self, vertex_list, edge_list):
"""
创建图
:param vertex_list: 顶点列表
:param edge_list: 边列表
:return:
"""
self.vexnum = len(vertex_list)
self.arcnum = len(edge_list)
for vertex in vertex_list:
vertex = Vertex(vertex)
# 顶点列表
self.vertexs.append(vertex)
# 邻接矩阵, 初始化为无穷
self.arcs.append([float('inf')] * self.vexnum)
for edge in edge_list:
ivertex = self.LocateVertex(edge[0])
jvertex = self.LocateVertex(edge[1])
weight = edge[2]
self.InsertArc(ivertex, jvertex, weight)
def LocateVertex(self, vertex):
"""
定位顶点在邻接表中的位置
:param vertex:
:return:
"""
index = 0
while index < self.vexnum:
if self.vertexs[index].data == vertex:
return index
else:
index += 1
def InsertArc(self, ivertex, jvertex, weight):
"""
创建邻接矩阵
:param ivertex:
:param jvertex:
:param weight:
:return:
"""
if self.kind == 'Undinetwork':
self.arcs[ivertex][jvertex] = weight
self.arcs[jvertex][ivertex] = weight
2. 问题来源
假设要在n n
个城市之间建立通信联络网，则连通n n
个城市只需要n − 1 n-1
−1条线路。在每两个城市之间都可以建立一条线路，相应地都要付出一定的经济代价，n n
个城市之间最多可以建立n ( n − 1 ) 2 \frac {n(n-1)} {2}2
(
−1)条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个连通网，即如何在这些可能的线路中选择n − 1 n-1
−1条，以使花费的经费最少。
我们可以用连通网来表示n n
个城市以及n n
个城市间可能建立的通信线路，其中顶点可以表示城市，边可以表示两个城市之间的通信线路，边的权值就是修建这条线路所需的经费。对于n n
个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵树都可以是一个连通网，现在要从中选择出一棵使用经费最少的生成树。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树( M i n i m u m (Minimum(
C o s t Cost
S p a n n i n g Spanning
T r e e ) Tree)
)的问题，简称最小生成树( M S T ) (MST)(
)问题。
MST的性质：假设N = ( V , { E } ) N=(V,{E})
=(
,{
})是一个连通网，U U
是顶点集V V
的一个非空子集。若( u , v ) (u,v)(
,
)是一条具有最小权值的边，其中u ∈ U , v ∈ V − U u\in U,v\in V-U
∈
,
∈
−
，则必存在一棵包含边( u , v ) (u,v)(
,
)的最小生成树。
P r i m Prim
算法和K r u s k a l Kruskal
算法是两个利用MST性质构造最小生成树的经典算法。
3. Prim算法
P r i m Prim
算法，中文名叫普里姆算法。基本思想如下：
(1) 指定连通网N N
中的某一顶点作为构造最小生成树的起点，并令U = { w } , T E = { } U={w},TE={}
={
},
={}；
(2) 在所有u ∈ U 、 v ∈ V − U u\in U、v\in V-U
∈
、
∈
−
的边中，找到一条权值最小的边( u , v ) ∈ E (u,v)\in E(
,
)∈
，将u u
并入到U U
中，并将边( u , v ) (u,v)(
,
)并入到T E TE
中；
(3) 重复执行第二步，直到U = V U=V
=
，此时最小生成树包含n − 1 n-1
−1条边。
这里使用一个辅助数组closedge，用来存储从U U
到U − V U-V
−
中权值最小的边及顶点U U
的下标，除此之外还需要一个列表arc来存储最小生成树的边。下面结合着P r i m Prim
算法来分析一下上面的那个无向网：
(1) P r i m Prim
算法一直在更新两个集合，即已访问顶点集合U U
和未访问顶点集合U − V U-V
−
，然后从这两个集合组成的边中选择权值最小的边。这里以顶点A A
为起始点，先将它加入U U
中，即其对应的closedge置为[ ( 0 , 0 ) ] [(0,0)][(0,0)]。此时U U
中只有顶点A A
，与A A
相连的边有A B AB
、A C AC
和A D AD
，初始closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 0 , 6 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , ∞ ) , ( 0 , ∞ ) ] [(0,0),(0,6),(0,1),(0,5),(0,\infty),(0,\infty)][(0,0),(0,6),(0,1),(0,5),(0,∞),(0,∞)]，其中权值最小的边的另一个顶点索引为2，即顶点C C
，然后根据这个索引2确定了该边对应两个顶点的索引( 0 , 2 ) (0,2)(0,2)，即边A C AC
，图中的红色线表示，将该边加入到列表arc中，同时将C C
加入U U
中，即将其对应的closedge由( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)置为( 0 , 0 ) (0,0)(0,0)，此时closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 0 , 6 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , ∞ ) , ( 0 , ∞ ) ] [(0,0),(0,6),(0,0),(0,5),(0,\infty),(0,\infty)][(0,0),(0,6),(0,0),(0,5),(0,∞),(0,∞)]；
(2) 此时U U
中有顶点A A
和C C
，然后去找两顶点集合对应权值最小的边，与C C
相连的边有C A CA
、C B CB
、C D CD
、C E CE
和C F CF
，更新closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 5 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 4 ) ] [(0,0),(2,5),(0,0),(0,5),(2,6),(2,4)][(0,0),(2,5),(0,0),(0,5),(2,6),(2,4)]，更新的原则是如果新边的权重比closedge中的小，更新，否则不更新，其中权值最小的边的另一个顶点索引为5，即顶点F F
，然后根据这个索引5确定了该边对应两个顶点的索引( 2 , 5 ) (2,5)(2,5)，即边C F CF
，图中的橙色线表示，将该边加入到列表arc中，同时将F F
加入U U
中，即将其对应的closedge由( 2 , 4 ) (2,4)(2,4)置为( 2 , 0 ) (2,0)(2,0)，此时closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 5 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,5),(0,0),(0,5),(2,6),(2,0)][(0,0),(2,5),(0,0),(0,5),(2,6),(2,0)]；
(3) 此时U U
中有顶点A A
、C C
和F F
，然后去找两顶点集合对应权值最小的边，与F F
相连的边有F C FC
、F D FD
和F E FE
，更新closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 5 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 2 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,5),(0,0),(5,2),(2,6),(2,0)][(0,0),(2,5),(0,0),(5,2),(2,6),(2,0)]，其中权值最小的边的另一个顶点索引为3，即顶点D D
，然后根据这个索引3确定了该边对应两个顶点的索引( 5 , 2 ) (5,2)(5,2)，即边F D FD
，图中的黄色线表示，将该边加入到列表arc中，同时将D D
加入U U
中，即将其对应的closedge由( 5 , 2 ) (5,2)(5,2)置为( 5 , 0 ) (5,0)(5,0)，此时closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 5 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,5),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)][(0,0),(2,5),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)]；
(4) 此时U U
中有顶点A A
、C C
、F F
和D D
，然后去找两顶点集合对应权值最小的边，与D D
相连的边有D A DA
、D C DC
和D F DF
，更新closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 5 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,5),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)][(0,0),(2,5),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)]，其中权值最小的边的另一个顶点索引为1，即顶点B B
，然后根据这个索引1确定了该边对应两个顶点的索引( 2 , 1 ) (2,1)(2,1)，即边C B CB
，图中的绿色线表示，将该边加入到列表arc中，同时将B B
加入U U
中，，即将其对应的closedge由( 2 , 5 ) (2,5)(2,5)置为( 2 , 0 ) (2,0)(2,0)，此时closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)][(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(2,6),(2,0)]；
(5) 此时U U
中有顶点A A
、C C
、F F
、D D
和B B
，然后去找两顶点集合对应权值最小的边，与B B
相连的边有B A BA
、B C BC
和B E BE
，更新closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(1,3),(2,0)][(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(1,3),(2,0)]，其中权值最小的边的另一个顶点索引为4，即顶点E E
，然后根据这个索引4确定了该边对应两个顶点的索引( 1 , 4 ) (1,4)(1,4)，即边B E BE
，图中的蓝色线表示，将该边加入到列表arc中，同时将E E
加入U U
中，，即将其对应的closedge由( 2 , 6 ) (2,6)(2,6)置为( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)，此时closedge为[ ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ] [(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(1,0),(2,0)][(0,0),(2,0),(0,0),(5,0),(1,0),(2,0)]；
至此，未访问顶点的集合已为空，顶点已全部被访问，最小生成树为：{ ( A , C ) , ( C , F ) , ( F , D ) , ( C , B ) , ( B , E ) } {(A,C),(C,F),(F,D),(C,B),(B,E)}{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)}。
P r i m Prim
算法实现如下：
def GetMin(self, closedge):
"""
找到当前closedge中权值最小的边
:param closedge:
:return:
"""
index = 0
vertex = 0
minweight = float('inf')
while index < self.vexnum:
if closedge[index][1] != 0 and closedge[index][1] < minweight:
minweight = closedge[index][1]
vertex = index
index += 1
return vertex
def Prim(self, start_vertex):
k = self.LocateVertex(start_vertex)
closedge = []
arc = []
for index in range(self.vexnum):
# 下标权值, 初始化
closedge.append([k, self.arcs[k][index]])
# 将起始点加入到U中
closedge[k][1] = 0
index = 1
while index < self.vexnum:
# 找到了与下标为k相连的最小边
minedge = self.GetMin(closedge)
# 将当前最小权值的边加入到最小生成树arc
arc.append([self.vertexs[closedge[minedge][0]].data, self.vertexs[minedge].data, closedge[minedge][1]])
# 将最小边权值置为0, 即将顶点v加入U中, 表示该顶点已经在最小生成树内
closedge[minedge][1] = 0
i = 0
# 重新选择权值最小边
while i < self.vexnum:
if self.arcs[minedge][i] < closedge[i][1]:
# 更新 最小边的权值及下标
closedge[i] = [minedge, self.arcs[minedge][i]]
i += 1
index += 1
return arc
可以看到P r i m Prim
算法的时间复杂度与图中顶点的数目有个很大关系，所以它更适合稠密网求最小生成树。
4. Kruskal算法
K r u s k a l Kruskal
算法，中文名叫克鲁斯卡尔算法。基本思想如下：
(1) 将连通网N N
中的所有边存入集合Edges，并按权值从小到大进行排列，同时令U = V , T E = { } U=V,TE={}
=
,
={}，T E TE
是N N
上最小生成树中边的集合，此时为空，即最小生成树T T
中的每一个顶点都自带一个连通分量；
(2) 依次访问Edges中的边，若当前被访问的边的两个顶点属于不同的连通分量，即不构成环，则将该边加入到T E TE
中，并标记当前两个顶点所在的连通分量为同一个连通分量；否则将该边从Edges中删除；
(3) 重复执行第二步，直到最小生成树T T
的所有顶点均属于同一连通分量，此时E d g e s Edges
中的边与组成最小生成树T T
的边相同，这些边组成了集合T E TE
。
这里使用一个辅助数组flags来记录每个顶点所属的连通分量的序号。下面结合着K r u s k a l Kruskal
算法来分析一下上面的那个无向网：
(1) K r u s k a l Kruskal
算法在不断遍历列表edges中的每一条边并更新列表edges。首先遍历第一条边( A , C ) (A,C)(
,
)，图中的红色线，发现这条边的两个顶点属于不同的连通分量，然后就更新辅助数组flags中对应顶点的序号，让它们俩的序号一致；
(2) 然后遍历下一条边( D , F ) (D,F)(
,
)，图中的橙色线，发现这条边的两个顶点属于不同的连通分量，然后就更新辅助数组flags中对应顶点的序号，让它们俩的序号一致；
(3) 然后遍历下一条边( B , E ) (B,E)(
,
)，图中的黄色线，发现这条边的两个顶点属于不同的连通分量，然后就更新辅助数组flags中对应顶点的序号，让它们俩的序号一致；
(4) 然后遍历下一条边( C , F ) (C,F)(
,
)，图中的绿色线，发现这条边的两个顶点属于不同的连通分量，然后就更新辅助数组flags中对应顶点的序号，让它们俩的序号一致；
(5) 然后遍历下一条边( A , D ) (A,D)(
,
)，发现这条边的两个顶点属于相同的连通分量，即加入这条边后，无向网就会产生回路，删除列表edges中的这条边；
(6) 然后遍历下一条边( B , C ) (B,C)(
,
)，图中的蓝色线，发现这条边的两个顶点属于不同的连通分量，然后就更新辅助数组flags中对应顶点的序号，让它们俩的序号一致；
(7) 然后遍历下一条边( C , D ) (C,D)(
,
)，发现这条边的两个顶点属于相同的连通分量，即加入这条边后，无向网就会产生回路，删除列表edges中的这条边；
然后继续遍历，直至遍历完列表edges，列表edges中剩余的边就构成了最小生成树，最小生成树为：{ ( A , C ) , ( D , F ) , ( B , E ) , ( C , F ) , ( B , C ) } {(A,C),(D,F),(B,E),(C,F),(B,C)}{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)}。
K r u s k a l Kruskal
算法实现如下：
def AddEdges(self):
"""
将连通网中的边加入到列表AddEdges中
:return:
"""
edges = []
i = 0
while i < self.vexnum:
j = 0
while j < self.vexnum:
if self.arcs[i][j] != float('inf'):
edges.append([self.vertexs[i].data, self.vertexs[j].data, self.arcs[i][j]])
j += 1
i += 1
# 按权重从小到大进行排序
return sorted(edges, key=lambda item: item[2])
def Kruskal(self):
edges = self.AddEdges()
flags = []
for index in range(self.vexnum):
flags.append(index)
index = 0
while index < len(edges):
ivertex = self.LocateVertex(edges[index][0])
jvertex = self.LocateVertex(edges[index][1])
if flags[ivertex] != flags[jvertex]:
# 两个顶点不属于同一连通分量
# 找到它们各自的连通分量的序号
iflag = flags[ivertex]
jflag = flags[jvertex]
# 它们两个如何合并, 找找flags有没有与之相同的
limit = 0
while limit < self.vexnum:
if flags[limit] == jflag:
# 将j和i的连通序号设置相同, 表示它俩是连通的
flags[limit] = iflag
limit += 1
# index就要放这里, 因为删除边后edges长度就会减少1
index += 1
else:
# 已经连通了, 即加入这条边就构成了环
# 删除这条边
edges.pop(index)
return edges
可以看到K r u s k a l Kruskal
算法的时间复杂度与图中边的数目有个很大关系，所以它更适合稀疏网求最小生成树。
5. 代码测试
测试代码如下：
if __name__ == '__main__':
graph = Graph(kind='Undinetwork')
graph.CreateGraph(vertex_list=['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'],
edge_list=[('A', 'B', 6), ('A', 'C', 1), ('A', 'D', 5), ('B', 'C', 5),
('B', 'E', 3), ('C', 'D', 5), ('C', 'E', 6), ('C', 'F', 4),
('D', 'F', 2), ('E', 'F', 6)])
# 起始位置的index为0
mst1 = graph.Prim('A')
print('Prim最小生成树为: ')
for edge in mst1:
print('{0}-->{1}: {2}'.format(edge[0], edge[1], edge[2]))
mst2 = graph.Kruskal()
print('Kruskal最小生成树为: ')
for edge in mst2:
print('{0}-->{1}: {2}'.format(edge[0], edge[1], edge[2]))
测试结果如下：
你学会了吗？
此文转载文，著作权归作者所有，如有侵权联系小编删除
