图
基本介绍
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- 前面我们学了线性表和树
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- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
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- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
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- 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为
顶点。如图:
常用概念
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- 顶点(vertex)
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- 边(edge)
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- 路径
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- 无向图(右图)
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- 有向图
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- 带权图
表示方式
图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1....n个点。
邻接表
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- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
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- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
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- 举例说明
- 举例说明
快速入门案例
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- 要求: 代码实现如下图结构.
- 要求: 代码实现如下图结构.
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- 思路分析 (1) 存储顶点 String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges
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- 代码实现
/**
* @author DSH
* @date 2020/9/24
* @description 图的创建
*/
public class Graph {
private ArrayList<String> vertextList;//存储顶点的集合
private int[][] edges; //存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的数目
public static void main(String[] args) {
//测试创建图
int n = 5;//节点的个数
String Vertexts[] = {"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String value:Vertexts) {
graph.insertVertex(value);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
graph.showGraph();
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和顶点集合
edges = new int[n][n];
vertextList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
}
//图中常用的方法
//返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertextList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回节点i(下标)对应的数据 0->A 1->B
public String getValueByIndex(int i){
return vertextList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2){
return edges[v1][v2];
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int [] link: edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertextList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int v1, int v2 , int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges ++;
}
}
图的深度优先遍历
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种 访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
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- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解: 每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
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- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
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- 显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
-
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
-
- 查找结点v的第一个邻接结点w。
-
- 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
-
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v，然后进行步骤123)。
-
- 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
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- 分析图
- 分析图
代码实现
//得到第一个邻接节点的下标
/**
* 如果存在, 就返回对应的下标否则返回-1
* @param index
* @return
*/
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int j = 0; j < vertextList.size(); j++) {
if (edges[index][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
for (int j = v2+1; j < vertextList.size(); j++) {
if (edges[v1][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
private void dfs(boolean[] isVisited,int index){
//首先访问该节点 输出
System.out.print(getValueByIndex(index)+"->");
//将该节点设为已访问
isVisited[index] = true;
//查找节点i的第一个邻接节点
int w = getFirstNeighbor(index);
while (w!=-1){
if (!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(index,w);
}
}
//对dfs进行一个重载,遍历所有的节点 并进行dfs
public void dfs(){
//遍历所有的节点 进行dsf(回溯)
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
图的广度优先遍历
- 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
- 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来 访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
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- 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
-
- 结点v入队列
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- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
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- 出队列，取得队头结点u。
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- 查找结点u的第一个邻接结点w。
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- 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
- 6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
- 6.2 结点w入队列
- 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6
代码汇总
public class Graph {
private ArrayList<String> vertextList;//存储顶点的集合
private int[][] edges; //存储图的对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;//表示边的数目
//定义数组boolean[] 记录某个节点是否被访问
private boolean isVisited[];
public static void main(String[] args) {
//测试创建图
String Vertexts[] = {"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(Vertexts.length);
//循环添加顶点
for (String value:Vertexts) {
graph.insertVertex(value);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示邻接矩阵
graph.showGraph();
//深度遍历
System.out.println("深度优先");
graph.dfs();
System.out.println( );
//广度遍历
System.out.println("广度优先");
graph.bfs();
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和顶点集合
edges = new int[n][n];
vertextList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[n];
}
//得到第一个邻接节点的下标
/**
* 如果存在, 就返回对应的下标否则返回-1
* @param index
* @return
*/
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int j = 0; j < vertextList.size(); j++) {
if (edges[index][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
for (int j = v2+1; j < vertextList.size(); j++) {
if (edges[v1][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
private void dfs(boolean[] isVisited,int index){
//首先访问该节点 输出
System.out.print(getValueByIndex(index)+"->");
//将该节点设为已访问
isVisited[index] = true;
//查找节点i的第一个邻接节点
int w = getFirstNeighbor(index);
while (w!=-1){
if (!isVisited[w]){
dfs(isVisited,w);
}
//如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(index,w);
}
}
//对dfs进行一个重载,遍历所有的节点 并进行dfs
public void dfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
//遍历所有的节点 进行dsf(回溯)
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
dfs(isVisited,i);
}
}
}
//对一个节点进行官渡优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited,int i){
int u ; //表示队列的头节点对应的下标
int w ; //表示邻接节点
//队列, 记录节点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList<>();
//访问节点,输出节点信息
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将节点加入对列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()){
//取出对列的头节点下标
u = (int) queue.removeFirst();
//得到第一个邻节点的下标
w = getFirstNeighbor(u);
while (w!=-1){//找到了
//是否访问过
if (!isVisited[w]){
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点,找w后面的下一个邻接点
w = getNextNeighbor(u,w);//体现出广度优先
}
}
}
//遍历所有的节点 , 都进行广度优先搜索
private void bfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(isVisited,i);
}
}
}
//图中常用的方法
//返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertextList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回节点i(下标)对应的数据 0->A 1->B
public String getValueByIndex(int i){
return vertextList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2){
return edges[v1][v2];
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int [] link: edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertextList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int v1, int v2 , int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges ++;
}
}
