二叉排序树(BST树)
需求
给你一个数列 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9)，要求能够高效的完成对数据的查询和添加
解决方案分析
- 使用数组
- 数组未排序
- 优点:直接在数组尾添加，速度快。
- 缺点:查找速度慢.
- 数组排序，
- 优点:可以使用二分查找，查找速度快，
- 缺点:为了保证数组有序，在添加新数据时，找到插入位置后，后面的数据需整体移动，速度慢。
- 数组未排序
- 使用链式存储-链表 不管链表是否有序，查找速度都慢，添加数据速度比数组快，不需要数据整体移动。
- 使用二叉排序树
介绍
二叉排序树:BST: (Binary Sort(Search) Tree), 对于二叉排序树的任何一个非叶子节点，要求左子节点的值比当 前节点的值小，右子节点的值比当前节点的值大。
- 又称为二叉排序树、有序二叉树、排序二叉树
- 左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 中序遍历时升序遍历，左-根-右
- 查询和插入的加速: 复杂度O(logN)
- 删除：O(n)
- 如图，删除图示
特别说明:如果有相同的值，可以将该节点放在左子节点或右子节点 比如针对前面的数据 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ，对应的二叉排序树为:
二叉排序树创建和遍历
一个数组创建成对应的二叉排序树，并使用中序遍历二叉排序树，比如: 数组为 Array(7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ， 创
建成对应的二叉排序树为
代码实现
public class BinarySortTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int [] arr = {7,3,10,12,5,1,9};
BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
binarySortTree.add(new Node(arr[i]));
}
System.out.println("中序遍历二叉排序树");
binarySortTree.infixOrder();
}
}
//创建二叉排序树
class BinarySortTree{
private Node root;
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (root == null) {
//若根节点为空 赋值root
root = node;
}else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder(){
if (root != null) {
root.infixOrder();
}else {
System.out.println("二叉排序树为空,不能遍历");
}
}
}
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//传入节点的值和当前子树的根节点的关系
if(node.value<this.value){
//如果当前节点左子节点为空
if (this.left==null){
this.left = node;
}else {
//递归向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else {
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
public void infixOrder(){
if (this.left!=null){
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right!=null){
this.right.infixOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
输出顺序1 3 5 7 9 10 12
二叉排序树的删除
二叉排序树的删除情况比较复杂，有下面三种情况需要考虑
- 删除叶子节点(比如:2,5,9,12)
- 删除只有一颗子树的节点 (比如:1)
- 删除有两颗子树的节点.(比如:7,3，10) 4) 操作的思路分析
思路分析
第一种情况:删除叶子节点 (比如:2, 5, 9, 12) 思路
- (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
- (2) 找到 targetNode 的 父结点 parent
- (3) 确定 targetNode 是 parent 的左子结点 还是右子结点
- (4) 根据前面的情况来对应删除
- 左子结点 parent.left = null
- 右子结点 parent.right = null;
第二种情况: 删除只有一颗子树的节点 比如 1 思路
- (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
- (2) 找到 targetNode 的 父结点 parent
- (3) 确定 targetNode 的子结点是左子结点还是右子结点
- (4) targetNode 是 parent 的左子结点还是右子结点
- (5) 如果 targetNode 有左子结点
- 5.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 parent.left = targetNode.left;
- 5.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.left;
- (6) 如果 targetNode 有右子结点
- 6.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 parent.left = targetNode.right;
- 6.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.right
情况三 : 删除有两颗子树的节点. (比如:7, 3，10 ) 思路
- (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
- (2) 找到 targetNode 的 父结点 parent
- (3) 从 targetNode 的右子树找到最小的结点
- (4) 用一个临时变量，将 最小结点的值保存 temp = 11
- (5) 删除该最小结点
- (6) targetNode.value = temp
代码实现
完整代码
public class BinarySortTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int [] arr = {7,3,10,12,5,1,9,2};
BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
binarySortTree.add(new Node(arr[i]));
}
System.out.println("中序遍历二叉排序树");
binarySortTree.infixOrder();
// 情况1 删除叶子节点
// binarySortTree.delNode(2);
// binarySortTree.delNode(5);
// binarySortTree.delNode(9);
// binarySortTree.delNode(12);
System.out.println("删除叶子节点后");
// 情况2 删除只有一颗子树的节点
// binarySortTree.delNode(1);
System.out.println("删除只有一颗子树的节点后");
// 情况3 删除有两颗子树的节点
binarySortTree.delNode(3);
System.out.println("删除有两颗子树的节点后");
binarySortTree.infixOrder();
}
}
//创建二叉排序树
class BinarySortTree{
private Node root;
//查找要删除的节点
public Node search(int value){
if (root == null){
return null;
}else {
return root.search(value);
}
}
//查找要删除的节点的父节点
public Node searchParent(int value){
if (root == null){
return null;
}else {
return root.searchParent(value);
}
}
//编写方法
// 1. 返回的是以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
// 2. 删除node 为根节点的二叉排序树的最小节点
/**
*
* @param node 传入的节点(当做二叉排序树的根节点)
* @return 返回的是以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node){
Node target = node;
//循环查找左子节点, 就会找到最小值
while (target.left!=null){
target = target.left;
}
//找到最小值节点 删除
delNode(target.value);
return target.value;
}
//删除节点
public void delNode(int value){
if (root == null){
return;
}else {
//1 需求先去找到要删除的节点 targetNode
Node targetNode = search(value);
if (targetNode==null){
return;
}
// 如果二叉排序树 只有一个节点
if (root.left==null&&root.right==null){
root = null;
return;
}
// 去找到targetNode的父节点
Node parentNode = searchParent(value);
//情况1 如果删除的节点是叶子节点
if (targetNode.left==null&&targetNode.right==null){
//判断targetNode是父节点的左子节点还是右子节点
if (parentNode.left!=null&& parentNode.left.value==value){
//左子节点
parentNode.left = null;
}
if (parentNode.right!=null&& parentNode.right.value==value){
//右子节点
parentNode.right = null;
}
}else if (targetNode.left!=null&&targetNode.right!=null){//情况3 删除有两颗子树的节点
int min = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = min;
}else { //情况2 删除只有一颗子树的节点
// 如果要删除的节点有左子节点
if (targetNode.left!=null) {
if (parentNode!=null){
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parentNode.left.value==value){
parentNode.left = targetNode.left;
}else {//targetNode 是 parent 的右子结点
parentNode.right = targetNode.left;
}
}else {
root = targetNode.left;
}
}else {//要删除的节点有右子节点
if (parentNode!=null){
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parentNode.left.value==value){
parentNode.left = targetNode.right;
}else {//targetNode 是 parent 的右子结点
parentNode.right = targetNode.right;
}
}else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (root == null) {
//若根节点为空 赋值root
root = node;
}else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder(){
if (root != null) {
root.infixOrder();
}else {
System.out.println("二叉排序树为空,不能遍历");
}
}
}
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
//查找要删除的节点的方法
public Node search(int value){
if (value == this.value) {
return this;
}else if(value<this.value){
//查找的值小于当前节点 向左子树递归查找
if (this.left==null){
//找不到了
return null;
}
return this.left.search(value);
}else {
if (this.right==null){
//找不到了
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
//查找要删除节点的父节点
//返回当前节点的父节点
public Node searchParent(int value){
//如果当前节点就是要删除的节点的父节点,就返回
if ((this.left!=null&&this.left.value==value)||(this.right!=null&&this.right.value==value)) {
return this;
}else {
//如果查找的值小于当前节点的值 并且当前节点的左子节点不为空
if (value<this.value&&this.left!=null){
return this.left.searchParent(value);//左子树递归查找
}else if(value>=this.value&&this.right!=null){
return this.right.searchParent(value);//左子树递归查找
}else {
return null;
}
}
}
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//传入节点的值和当前子树的根节点的关系
if(node.value<this.value){
//如果当前节点左子节点为空
if (this.left==null){
this.left = node;
}else {
//递归向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else {
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
public void infixOrder(){
if (this.left!=null){
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right!=null){
this.right.infixOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
", left=" + left +
", right=" + right +
'}';
}
}
平衡二叉树(AVL树)
需求
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在. 左边 BST 存在的问题分析:
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较),不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
基本介绍
-
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树(Self-balancingbinarysearchtree)又被称为AVL树，可以保证查询效率较高。
-
- 具有以下特点:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵 平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
-
- 举例说明,看看下面哪些AVL树,为什么?
应用案例-单旋转(左旋转)
- 要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}
- 思路分析(示意图)
应用案例-单旋转(右旋转)
- 要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}
- 思路分析(示意图)
应用案例-双旋转
前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转 不能完成平衡二叉树的转换。比如数列
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树.
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树
问题分析
解决思路分析
-
- 当符合右旋转的条件时
-
- 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
-
- 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
-
- 在对当前结点进行右旋转的操作即可
-
完整代码实现
/**
* @author DSH
* @date 2020/9/23
* @description AVL 平衡二叉树
*/
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// int[] arr = {4,3,6,5,7,8};//坐旋转测试数组
// int[] arr = {10,12,8,9,7,6};//右旋转测试数组
int[] arr = {10,11,7,6,8,9};//双旋转测试数组
//创建AVLTree
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在平衡处理前");
System.out.println("树的高度="+avlTree.getRoot().height());
System.out.println("左子树的高度="+avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.println("右子树的高度="+avlTree.getRoot().rightHeight());
System.out.println("当前根节点="+avlTree.getRoot());
}
}
class AVLTree{
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (root == null) {
//若根节点为空 赋值root
root = node;
}else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder(){
if (root != null) {
root.infixOrder();
}else {
System.out.println("二叉排序树为空,不能遍历");
}
}
}
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
//返回以该节点为根节点的树的高度
public int height(){
return Math.max(left==null?0:left.height(),right==null?0:right.height())+1;
}
//返回左子树的高度
public int leftHeight(){
if (left==null){
return 0;
}else {
return left.height();
}
}
//返回右子树的高度
public int rightHeight(){
if (right==null){
return 0;
}else {
return right.height();
}
}
//左旋转方法
private void leftRotate(){
//创建新的节点,以当前根节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的节点的左子树设置为当前节点的左子树
newNode.left = left;
//把新的节点的右子树设置成当前的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前节点的值替换成右子树的值
value = right.value;
//把当前节点的右子树设置成右子树的右子树
right = right.right;
//把当前节点的左子树设置成新的节点
left = newNode;
}
//右旋转方法
private void rightRotate(){
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
//添加节点的方法
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//传入节点的值和当前子树的根节点的关系
if(node.value<this.value){
//如果当前节点左子节点为空
if (this.left==null){
this.left = node;
}else {
//递归向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else {
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
// 当添加完一个节点后,如果:(右子树的高度-左子树的高度)>1, 左旋转
if (rightHeight()-leftHeight()>1){
//如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度
if (right!=null&&right.leftHeight()>right.rightHeight()){
//先对右子树进行右旋转
right.rightRotate();
//然后再对当前节点进行左旋转
leftRotate();
}else {
leftRotate();//左旋转
}
return;//必须要!!!
}
//当添加完一个节点后 如果(左子树的高度-右子树的高度)>1, 右旋转
if (leftHeight()-rightHeight()>1){
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树高度
if (left!=null&&left.rightHeight()>left.leftHeight()){
//先对当前节点的左节点->坐旋转
left.leftRotate();
//再对当前节点进行右旋转
rightRotate();//右旋转
}else {
//直接右旋转
rightRotate();//右旋转
}
}
}
public void infixOrder(){
if (this.left!=null){
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right!=null){
this.right.infixOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
