机器怎样学习？

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲，分为4个部分：

1. 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
2. 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
3. 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
4. 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第3部分，对应原课程中的9-12讲。

本部分的主要内容：

• 线性回归算法详解，以及泛化能力的保证、能否用于二分类问题等；
• 逻辑回归算法详解，并引入梯度下降方法；
• 阐述PLA、线性回归、逻辑回归3种方法在分类问题上的联系与区别，并引入随机梯度下降方法；
• 多分类问题中的OVA、OVO方法；
• 特征的非线性变换，以及该如何控制变换后的复杂度。

1 线性回归

在第一部分中讲过机器学习的分类，当$\mathcal{Y}=\mathbb{R}$时，就是回归。

1.1 线性回归算法

线性回归的假设集十分简单，$h(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}$，其实就是感知机模型去除了符号函数。

它的逐点误差度量可设为$\text{err}(\hat{y}, y)=(\hat{y}-y)^2$，那么样本内外的误差分别为 $E_{\text{in}}(\mathbf{w})=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_n-y_n)^2$ 和 $E_{\text{out}}(\mathbf{w})=\mathop{\mathcal{E}}\limits_{(\mathbf{x},y)\sim P}(\mathbf{w}^T \mathbf{x}-y)^2$ 要最小化$E_{\text{in}}$很简单，当它取到最小时必有梯度为$0$，因此可先计算出它的梯度：

令它为$0$即可。如图所示：

若$X^T X$可逆（当$N\gg d+1$时基本上会满足），则可直接得出 $\mathbf{w}_{\text{LIN}}=(X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}$

如果$X^T X$是奇异的呢？可先定义“伪逆”（pseudo-inverse）$X^\dagger$，在定义完后有 $\mathbf{w}_{\text{LIN}}=X^\dagger \mathbf{y}$

在实践中，建议直接使用$X^\dagger$，一方面可避免判断$X^T X$是否可逆，另一方面就算在几乎不可逆的情况下，它也是在数值上稳定的。

1.2 线性回归的泛化

线性回归看起来没有“学习”过程，是一步到位的，那么它算机器学习吗？

事实上，只要可以保证$E_{\text{out}}(\mathbf{w}_\text{LIN})$足够小，那么就可以说“发生了”学习。

在这里，我们不从VC维理论出发，而从另一个角度说明为什么$E_{\text{out}}(\mathbf{w}_\text{LIN})$会足够小。

我们先来看平均的$E_{\text{in}}$有多大：

$\overline{E_{\text{in}}}=\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}\sim P^N}\{E_{\text{in}}(\mathbf{w}_\text{LIN} \text{ w.r.t } \mathcal{D})\}$

其中

可将$H=XX^\dagger$称为hat matrix，因为它可将$\mathbf{y}$映射到$\hat{\mathbf{y}}$。由下图可知，若$\mathbf{y}$由理想的$f(X)\in \text{span}$加上噪声$\mathbf{noise}$生成，那么$I-H$也可将$\mathbf{noise}$映射为$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$：

而$\text{trace}(I-H)=N-(d+1)$，迹可以理解为“能量”，因此有

如果对$E_{\text{in}}$取平均，大概可以理解为 $\overline{E_{\text{in}}}=\mathbf{noise}\text{ level} \cdot (1-\dfrac{d+1}{N})$ 类似地有 $\overline{E_{\text{out}}}=\mathbf{noise}\text{ level} \cdot (1+\dfrac{d+1}{N})$ （证明过程略）。

因此$\overline{E_{\text{in}}}$和$\overline{E_{\text{out}}}$的关系如图：

若$N\to\infty$，则二者都收敛于$\sigma^2$（$\mathbf{noise}\text{ level}$），泛化误差的期望为$\dfrac{2(d+1)}{N}$。因此，学习是会“发生”的！

VC维理论说明的是$E_{\text{in}}$和$E_{\text{out}}$相差较远的概率有上限，而这里说明的是它们的平均差距会收敛。角度不同，但两种方式都说明了泛化的能力。

1.3 用线性回归进行二分类

在线性分类中，$\mathcal{Y}=\{+1,-1\}$，$h(\mathbf{x})=\text{sign}({\mathbf{w}^T\mathbf{x}})$，$\text{err}(\hat{y},y)=\mathbf{1}_{[\hat{y}\ne y]}$，找它的最优解是个NP-hard问题。

由于$\{+1,-1\}\subset \mathbb{R}$，即样本的正负类别也能用实数表示，而在线性回归中$\mathcal{Y}=\mathbb{R}$，那么，直接来一发线性回归，得到$\mathbf{w}_\text{LIN}$，然后让$g(\mathbf{x})=\text{sign}(\mathbf{w}_\text{LIN}^T\mathbf{x})$，这是否可行呢？

把线性分类和线性回归的误差度量分别记为$\text{err}_{0/1}=\mathbf{1}_{[\text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\ne y]}$和$\text{err}_\text{sqr}=({\mathbf{w}^T\mathbf{x}- y})^2$，它们的关系如下图：

从中可直观地看出，$\text{err}_{0/1} \le \text{err}_\text{sqr}$一定成立。由此，有

也就是说，让回归的$E_{\text{in}}$做得足够好，也可以使得分类的$E_{\text{out}}$足够小，只不过上限更宽松一些而已。这样做就是用边界的紧度（bound tightness）换取计算效率（efficiency）。

一般$\mathbf{w}_\text{LIN}$可用来作为PLA或pocket算法的初始向量。

2 逻辑回归

2.1 逻辑回归算法

二分类中，我们感兴趣的是

但在很多场景下，我们想要做的是“软”（soft）分类，即得到某个分类的概率，此时感兴趣的是

问题在于，我们得到的数据标签是样本的类别，而非样本被分到某个类的概率。

对于一个样本的所有特征$\mathbf{x}=(x_0, x_1, x_2, \cdots,x_d)$，令$s=\sum\limits_{i=0}^{d} w_i x_i$。我们可用逻辑函数（logistic function）$\theta(s)$将它转换成估计的概率。也就是说，逻辑回归（logistic regression）的假设为$h(\mathbf{x})=\theta(\mathbf{w}^T\mathbf{x})$。

最常用的逻辑函数是 $\theta(s)=\dfrac{e^s}{1+e^s}=\dfrac{1}{1+e^{-s}}$

函数图像如下：

可见，它是个光滑的、单调的、“S”形的（sigmoid）函数。

接下来，要定义逻辑回归的$E_\text{in}(\mathbf{w})$。先将目标函数$f(\mathbf{x})=P(+1|\mathbf{x})$反表示为

假设手中的数据集为 $\mathcal{D}=\{(\mathbf{x}_1,\circ),(\mathbf{x}_2,\times),\ldots, (\mathbf{x}_N,\times)\}$

那么，由$f$生成$\mathcal{D}$的概率为

由我们的假设$h$生成$\mathcal{D}$的似然（likelihood）为

如果$h\approx f$，那么$h$生成$\mathcal{D}$的似然也应该接近于由$f$生成$\mathcal{D}$的概率，并且由$f$生成$\mathcal{D}$的概率应该是较大的（正好被我们抽样抽到）。所以，机器学习算法可以取

若$h(\mathbf{x})=\theta(\mathbf{w}^T\mathbf{x})$，由函数的性质可知，$1-h(\mathbf{x})=h(-\mathbf{x})$，所以

而$P(\mathbf{x}_1)$、$P(\mathbf{x}_2)$、……、$P(\mathbf{x}_N)$都与$h$无关，因此有

现在要将它最大化，以找出最终的$h$。可先把$\theta(s)$代入，再取对数（对数函数单调，不改变最大化取值的点），变为

再取相反数（最大化变为最小化）、除$N$（不改变最值点）后，又可变为

将$\theta(s)$展开得到

令 $\text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x},y)=\ln\left(1+\exp(-y\mathbf{w}\mathbf{x})\right)$

这就是交叉熵误差（cross-entropy error），而$\sum\limits_{n=1}^N \text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x}_n,y_n)$就是$E_\text{in}(\mathbf{w})$。

2.2 梯度下降

接下来就要最小化$E_\text{in}(\mathbf{w})$，它是连续的、可微的、二次可微的、凸的，因此可以试着让它梯度为$0$。求出它的梯度

它的梯度可以看成是以$\theta(\cdot)$为权重的$-y_n\mathbf{x}_n$的加权平均。要让它为0，有两种方式：

• 让所有的$\theta(-y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)$都为0，这意味着所有样本都满足$y_n\mathbf{w}_n\mathbf{x}_n\gg 0$，也即$\mathcal{D}$是线性可分的；
• 若$\mathcal{D}$不是线性可分的，要让加权和为0，这是个非线性方程，没有闭式解（closed-form solution）。

可用与PLA中类似的方法进行迭代，即$\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v}$，其中$\mathbf{v}$确定了更新的方向，$\eta$确定了更新的步长，如图：

怎么迭代呢？可用贪心算法，一步步让$E_\text{in}$变小。假设已经给定某个$\eta$，要确定$\mathbf{v}$的方向，每一步的更新问题就转换成了

看起来仿佛更难解了。但如果$\eta$足够小，我们可以用局部线性近似展开它（泰勒展开，Taylor expansion）：

式中$E_\text{in}(\mathbf{w}_t)$和$\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)$已知，$\eta$给定，只需确定$\mathbf{v}$即可，注意到上式第二项本质上是两个向量内积，当两个向量方向相反时值最小，因此要最小化上式，可取

梯度下降的迭代更新就变成了：对于给定的较小$\eta$， $\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t-\eta\dfrac{\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)}{\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert}$

$\eta$太小会导致非常慢，太大会导致不稳定，最好用变化的$\eta$，如下图所示：

那么，$\eta$怎么变比较好？可让它与$\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert$正相关，将原来固定的$\eta$乘上$\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert$即可。这样，更新规则也就变成了

这个新的$\eta$可叫作固定的学习率（learning rate）。

3 分类的线性模型

3.1 三种算法的比较

记$s=\mathbf{w}^T\mathbf{x}$，以下是总结三种模型（线性分类、线性回归、逻辑回归）：

这里的$ys$可称为分类正确度分数（classification correctness score），即度量分类有多正确，该值越大，说明分类越“正确”。

若将交叉熵误差函数$\text{err}_\text{CE}(s,y)$做scale（除$\ln 2$），得到 $\text{err}_\text{SCE}(s,y)=\log_2(1+\exp(-ys))$

把它们的误差函数都画出来，可得下图：

从图中可知，一定有 $\text{err}_{0/1} \le \text{err}_\text{SCE}(s,y) = \dfrac{1}{\ln 2}\text{err}_\text{CE}(s,y)$

由此可以用VC维理论证明，使用$\text{err}_\text{CE}$也可以做好分类任务，有两种思路：

• 从分类的角度出发，有

• 从交叉熵角度出发，有

不管用哪种方式，只要保证$E_\text{in}^\text{CE}$足够小，都可以保证$E_\text{out}^{0/1}(\mathbf{w})$也足够小，也就是说，使用逻辑回归或线性回归都可以做线性分类。

用PLA、线性回归、逻辑回归做分类，三种方法的优缺点如下：

3.2 随机梯度下降

PLA每次迭代的时间复杂度为$O(1)$，但逻辑回归（或pocket算法）每次迭代都需要对$\mathcal{D}$中的所有样本进行一次运算，时间复杂度为$O(N)$，能不能让每次迭代的时间复杂度也变成$O(1)$？

我们在做更新$\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v}$时，取了

可以看到，计算梯度需要遍历所有样本，复杂度实在太高了。可将它里面的$\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}$看作是期望$\mathcal{E}$，相当于不断随机抽一个样本计算出来的结果的平均。若将随机抽一个样本$n$算出来的梯度称为随机梯度$\nabla_\mathbf{w}\text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x}_n,y_n)$，那么真正的梯度可看作是它的期望：

这样，就可以用随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）进行迭代。它的好处是非常简单，计算的成本低，非常适用于大数据或在线学习的情况，缺点是不够稳定。

在逻辑回归中，用SGD更新的步骤就变成了

这与PLA中的更新步骤十分相似，PLA中是这样的：

因此用SGD的逻辑回归，可以看作是“软”的PLA。而反过来，若取$\eta=1$，则PLA在$\mathbf{w}_t^T \mathbf{x}_n$很大的时候也可以看作是用SGD的逻辑回归。

在用SGD时，有两个经验法则：

• 什么时候停止？$t$足够大的时候就可以（不要判断梯度是否真的为0，否则又会带来梯度计算的复杂度）；
• 当$\mathbf{x}$在一般范围内时，就取$\eta=0.1$吧。

4 多分类问题

4.1 用逻辑回归做多分类

假设$\mathcal{Y}=\{\square, \diamondsuit,\triangle,\star\}$，数据分布如下图：

可对每个类别分别做一次分类，如下图：

但这样做，在最后要把它们结合起来时，会出现问题，有些区域无法判定属于哪一类：

怎么解决呢？可以用逻辑回归做“软”分类器，依旧是对每个类别$k$，用数据集

做一次逻辑回归，得到一个分类器$\mathbf{w}_{[k]}$：

做完后要将它们结合起来，可取$g(\mathbf{x})=\arg\max_{k\in\mathcal{Y}}\theta(\mathbf{w}_{[k]}^T\mathbf{x})$，这样就得到某个点应该属于哪一类了：

这样做称为OVA（One-Versus-All） Decomposition，好处是有效率，可以和类似逻辑回归的方法结合起来，但缺点在于当$K$很大时，往往会使$\mathcal{D}_{[k]}$非常不平衡，比如有100类，并且分布比较均匀，OVA每次用于训练的样本的两类数据的个数就会非常悬殊。

可以再进行扩展，如multinomial ('coupled') logistic regression，加入一些如“属于不同类的概率加起来应该为1”之类的限制，让它更适合用于多分类。

4.2 用二分类做多分类

为了克服不平衡问题，可以对两两类别进行训练，即用数据集

进行线性二分类：

最后，取 $g(\mathbf{x})=\text{tournament champion}\{\mathbf{w}_{[k,\ell]}^T\mathbf{x}\}$

即可：

这样的方法叫作OVO（One-Versus-One）Decomposition，好处在于有效率（因为每次训练用的数据量较少），并且是稳定的，可以和任何二分类方法相结合，但缺点在于不断计算$\mathbf{w}_{[k,\ell]}$的操作总共的复杂度是$O(K^2)$，需要更多运算空间。当$K$不是非常大时，OVO很常用。

5 非线性变换

对于某些数据集来说，不管怎么使用线性模型，$E_{in}$都很大：

5.1 二次的假设集

我们发现，如果用一个圆来做它的分类界线，它其实是可分的：

所以我们要重新设计圆形PLA、圆形回归、……吗？当然不是。我们可以将$\mathbf{x}\in\mathcal{X}$用变换$\Phi$映射到$\mathbf{z}\in\mathcal{Z}$，使得在$\mathcal{X}$中圆形可分的数据在$\mathcal{Z}$中线性可分。

通过由$\Phi_2(\mathbf{x})=(1,x_1,x_2,x_1^2,x_1x_2,x^2_2)$映射而来的$\mathcal{Z}$空间，可构成一般的二次假设集：

当然也可以用更高次的非线性变换，用非线性变换的流程如下图：

具体步骤如下：

1. 先用$\Phi$将$\{(\mathbf{x}_n,y_n)\}$变换到$\{(\mathbf{z}_n=\Phi(\mathbf{x}_n),y_n)\}$；
2. 用$\{(\mathbf{z}_n,y_n)\}$和线性分类算法$\mathcal{A}$训练出模型$\tilde{\mathbf{w}}$；
3. 返回$g(\mathbf{x})=\text{sign}\left(\tilde{\mathbf{w}}^T \Phi(\mathbf{x})\right)$即可。

5.2 复杂度的代价

假设用$Q$次的非线性变换：

式中的项数$1+\tilde d$是多少呢？若有$d$个特征，可以在补上1后认为上面式子后边的每一项都是$Q$次的，也就是说要对$d+1$项每项都赋予一个次数，并且所有次数之和必须为$Q$。可以用隔板法：想象共有$Q+d+1$个小球，要在它们的空隙中放入$d$个隔板，隔成$d+1$段，每一段的小球个数减去1代表了对应位置的项的次数，由于要求每段中至少有1个小球，因此两端不能放隔板，共有$Q+d$个位置可放隔板，共有$\binom{Q+d}{d}$种放法，也就是说，上式等号右边的项数

当$Q$较大时，一方面计算或存储的成本非常高，另一方面$1+\tilde d$是$d_\text{VC}(\mathcal{H}_{\Phi_Q})$的上界，$Q$太大会导致$d_\text{VC}$过大，模型损失了泛化能力。

5.3 $Q$的选择

如何选择$Q$？假设$\Phi_0(\mathbf{x})=(1)$，$\Phi_1(\mathbf{x})=\left(\Phi_0(\mathbf{x}),x_1,x_2,\ldots,x_d,\right)$，……，$\Phi_Q(\mathbf{x})=\left(\Phi_{Q-1}(\mathbf{x}),x_1^Q,x_1^{Q-1}x_2,\ldots,x_d^Q,\right)$，将它们的假设集分别记为$\mathcal{H}_0$，$\mathcal{H}_1$，……，$\mathcal{H}_Q$，它们存在嵌套关系

如图所示：

并且，它们的VC维满足

若取$g_i=\arg\min_{h\in \mathcal{H}_i} E_\text{in}(h)$，则它们的$E_\text{in}$满足

如何选择$Q$？安全的做法是，先看$E_\text{in}(g_1)$是否已经足够小，如果足够小，就可以了，否则，就用再稍微复杂一些的模型，也就是在下图中向右移动：