动态规划原理

最优子结构

用动态规划求解最优化问题的第一步就是刻画最优解的结构，如果一个问题的解结构包含其子问题的最优解，就称此问题具有最优子结构性质。因此，某个问题是否适合应用动态规划算法，它是否具有最优子结构性质是一个很好的线索。使用动态规划算法时，用子问题的最优解来构造原问题的最优解。因此必须考查最优解中用到的所有子问题。

重叠子问题

在斐波拉契数列和钢条切割结构图中，可以看到大量的重叠子问题，比如说在求fib（6）的时候，fib（2）被调用了5次，在求cut（4）的时候cut（0）被调用了4次。如果使用递归算法的时候会反复的求解相同的子问题，不停的调用函数，而不是生成新的子问题。如果递归算法反复求解相同的子问题，就称为具有重叠子问题（overlapping subproblems）性质。在动态规划算法中使用数组来保存子问题的解，这样子问题多次求解的时候可以直接查表不用调用函数递归。

解法

斐波拉契数列Fibonacci问题

Fibonacci (n) = 1;   n = 0

Fibonacci (n) = 1;   n = 1

Fibonacci (n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)

递归版本实现：

public int fib(int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    return fib( n-1)+fib(n-2);
}
//输入6
//输出：8

执行过程如下： 存在问题: 很多重复的节点被执行,空间和时间上的消耗巨大。

自顶向下的备忘录求解（==不推荐==）

public static int Fibonacci(int n)
{
        if(n<=0)
            return n;
        int []Memo=new int[n+1];        
        for(int i=0;i<=n;i++)
            Memo[i]=-1;
        return fib(n, Memo);
    }
    public static int fib(int n,int []Memo)
    {

        if(Memo[n]!=-1)
            return Memo[n];
    //如果已经求出了fib（n）的值直接返回，否则将求出的值保存在Memo备忘录中。               
        if(n<=2)
            Memo[n]=1;

        else Memo[n]=fib( n-1,Memo)+fib(n-2,Memo);  

        return Memo[n];
    }

解释： 创建了一个n+1大小的数组来保存求出的斐波拉契数列中的每一个值，在递归的时候如果发现前面fib（n）的值计算出来了就不再计算，如果未计算出来，则计算出来后保存在Memo数组中，下次在调用fib（n）的时候就不会重新递归了。

自底向上的动态规划（==推荐==）

public static int fib(int n)
{
        if(n<=0)
            return n;
        int []Memo=new int[n+1];
        Memo[0]=0;
        Memo[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            Memo[i]=Memo[i-1]+Memo[i-2];
        }       
        return Memo[n];
}

优化

观察参与循环的只有 i，i-1 , i-2三项，因此该方法的空间可以进一步的压缩如下。

public static int fib(int n)
    {
        if(n<=1)
            return n;

        int Memo_i_2=0;
        int Memo_i_1=1;
        int Memo_i=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            Memo_i=Memo_i_2+Memo_i_1;
            Memo_i_2=Memo_i_1;
            Memo_i_1=Memo_i;
        }       
        return Memo_i;
    }