KMP算法的个人理解

声明：文章内容根据龙书部分内容和网络上相关博客整理，当时随便写的笔记到现在时间太久远了，内容也不是很完善的样子……如果有未标明出处的地方希望大家指正，我会尽快更改

KMP算法

在目标串中匹配模式串的一个最简单、最直观的方法是一个个字符匹配，如果当前字符开始无法找到与模式串匹配的子串，那么向前移动一位，从该位置开始匹配模式串。但是在最坏的情况下，该算法的时间复杂度为$O(m \times n)$

那么有没有什么更好的办法来匹配字符串呢？——KMP算法。与最原始的逐个匹配的办法不同，KMP算法在匹配失败时会将目标串的指针向后移动合适的位置，而不仅仅是一个位置，从而大大减少了比较的次数。

这一算法的主要思想还是在于串的重复特性，利用串的最大公共前后缀来实现：

设想目标串s和模式串p在目标串的i和j位置之间是匹配的，也就是说$s_is_{i+1}...s_{j-1}s_j$和$p_0...p_{j-i}$是完全相同的，但是$s_{j+1} \ne p_{j-i+1}$（即这两个串的下一位不匹配），那么这个时候要继续寻找下一个位置进行匹配。

那么下个位置是什么位置呢？假设两个字符串已经完全匹配的部分有最大公共前后缀：

这个时候只要把串p已经匹配部分的前缀和串s已经匹配部分的后缀对齐就可以了，这样就迅速找到了要继续匹配的位置。

next数组及其求解

既然已经知道KMP算法的基本思想，那么剩下的关键就是如何快速找到一个字符串的公共前后缀，这也是next数组要解决的问题。

假设有如下字符串：

$ababaaa$

该字符串对应的next数组中的值next[t]为该字符串从首字符开始长度为t+1(因为t从0开始取值)的子串的最长公共前后缀的长度。

对于上面的字符串而言，next数组的值如下：

对应的字串	a	ab	aba	abab	ababa	ababaa	ababaaa
next	0	0	1	2	3	1	1

那么，对于一般的字符串 $t_0t_1...t_n$，其next数组应该如何求解？

很显然，当$t=0$时，$next[t]=0$，这是一个初始条件。之后，当$t=1$时，要判断子串$t_0t_1$的公共前后缀。这一点比较简单，直接判断$t_0$是否等于$t_1$即可。

现在，我们已经有了初始的条件，可以基于此初始条件不断往后递推。整个过程事实上包含了动态规划的思想。

现在假设我们有t和s两个指向字符串s的指针，s始终指向当前正在寻找最长公共前后缀的子串的末尾。

假设在上一步找寻最长公共前后缀的时候，t已经指向了该前缀的最后一个字符，s指向了对应子串的末尾。

$b_0b_1...b_t...b_s...b_n$

这意味着子串$b_0...b_t$和子串$b_{s-t+1}...b_s$（长度为t）是完全相同的（公共前后缀）。接着开始寻找子串$b_0...b_{s+1}$的最长公共前后缀。这时候，我们只要比较$b_{t+1}$和$b_{s+1}$是否相同即可，如果相同，很完美，最长的公共前后缀的长度加一，即： $next[s+1]=t+1$ 要是不同，很显然，t要回溯来找到正确的前后缀。一种办法是t每次回溯一位，然后比较t的下一位和s的下一位是否相同。

整个过程大致如下：

• t=t-1，再比较在新的t值下$b_0b_1...b_t$和$b_{s-t+1}...b_s$是否相同。若相同：比较$b_{t-1}$的下一位和$b_s$的下一位是否相同，若结果为相同，t=t+1, next[s+1]=t，若不同，重复这一步；

但这种办法显得过于笨重，所以我们需要更好的办法来找到合适的回溯的位置。我们知道，根据上一次计算的结果，子串$b_0b_1...b_t$和子串$b_{s-t+1}...b_s$是完全相同的，我们现在要做的，是在这两个子串内再找到合适的公共前后缀串。

怎么找呢？利用next[t]，这之中就包含了长度为t的从头开始的子串的最长公共前后缀串的信息。利用next[t]找到的$b_0...b_t$的前缀，恰恰好也是$b_{s-t+1}...b_s$的后缀，它们完全相同。所以我们现在要回溯到的位置就是$b_0...b_{next[t]}$和$b_{s-next[t]+1}...b_s$。这个步骤就是快速回溯，找到正确的公共前后缀。在此基础上，再比较这两个子串后跟着的字符：如果这两个字符相同，那完美了，t=t+1, next[s+1]=t；如果不同，就再重复这个回溯的步骤。

使用java实现的next数组的计算

public static int[] calNext(char[] str) {
    int[] next = new int[str.length];
    // 第一个子串，即首个字符。其前缀为空串，表示为-1
    next[0] = -1;
    // t指示上一个子串的最长公共前后缀的最后一个字符在数组中的索引。初始为-1表示首字符前缀为空
    int t = -1;
    // s表示上一个子串的末尾。初始为0，表示第一个子串为首字符。
    int s = 0;
    for(; s < str.length - 1; s++) {
        while ( t != -1 && (str[t+1] != str[s+1]) ) {
            // 上个前缀的后一个字符和上个子串的后一个字符不匹配，
            // 让t回溯，直到回到-1，表示没有匹配的前后缀串为止
            t = next[t];
        }
        if ( str[t+1] == str[s+1] ) {
            // t前进一位，表示找到了匹配的字符
            t += 1;
            // 更新next数组的值
            next[s+1] = t;
        } else {
            // 没找到匹配的字符
            next[s+1] = -1;
        }
    }
    
    return next;
}